Está mostrando $f(x)>g(x)$ suficiente para demostrar que $f(x)$ aumenta más rápido que $g(x)$ ?

Question

Está mostrando $f(x)>g(x)$ suficiente para demostrar que $f(x)$ aumenta más rápido que $g(x)$ para casi todos los $x$ ?

Answer 1

Considere $g(x)=-e^{-x}$ . Esto aumenta a $0$ .

Ahora toma $f(x)=e^{-x}$ . Eso disminuye a $0$ .

Claramente $$f(x)>g(x)$$

Así, sabiendo que $f$ es mayor que una función creciente $g$ ni siquiera demuestra que $f$ está aumentando.

Answer 2

No, toma $\color{blue}{f(x)=1}$ y $\color{red}{g(x)=1-{1\over 2^x}}$

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Si $f'(x)-g'(x)>0$ entonces esto sería cierto.

Answer 3

Considere $f(x) = x+17$ y $g(x) = x.$ Aumentan al mismo ritmo en todas partes para cualquier definición razonable, sin embargo $f > g.$

Answer 4

Si $f$ aumenta más rápidamente que $g$ , eso significa simplemente que la función $f-g$ está aumentando. Así que quieres demostrar que $(f-g)'>0$

Su pregunta, por tanto, se reduce a:

$$f-g>0\implies (f-g)'>0$$ ¿Es cierto?

Puede definir $h(x)=f(x)-g(x)$ para dar la declaración: $$h(x)>0\implies h'(x)>0$$ para el que suministro $h:\Bbb R^+ \mapsto \Bbb R: h(x)=\frac1x$ como un contraejemplo adecuado.