Es $\mathrm{Var}(Y)\leq \max \mathrm{Var}(Y|X)$ ?

Question

Dejemos que $E_1,E_2,\cdots, E_n$ sean eventos mutuamente excluyentes y disjuntos en un espacio de probabilidad. Sea $Y$ sea una variable aleatoria en el mismo espacio.

Estoy tratando de comprobar si $\mathrm{Var}(Y)\leq \max_i \mathrm{Var}(Y|E_i)\tag{1}$

Por Ley de la varianza total $\mathrm{Var}(Y)=\mathbb{E}[\mathrm{Var}(Y|X)]+\mathrm{Var}(\mathbb{E}[Y|X])$ . Así que el primer término de la fórmula de la varianza total es menor o igual a $\max_i \mathrm{Var}(Y|E_i)$ pero ¿puedo saber cuánto puede aportar el segundo término? ¿Hay algún ejemplo en el que $(1)$ es falso?

Answer 1

Que el espacio de probabilidad tenga $n$ puntos $p_1,..., p_n$ , dejemos que $Y$ sea inyectiva, y que $E_i$ sea el evento $Y=Y(p_i)$ .