Explicación de la diferencia entre grupos de conjuntos finitos bajo $+, \times$ operación.

Question

Explicación de la diferencia entre grupos de conjuntos finitos bajo operaciones: $+,\times$ para el valor primo de $n$ .

Todos los valores del conjunto $\{1,\dots, n-1\}$ son generadores de $\lbrace \mathbb{Z}_n, + \rbrace$ para la primera $n$ .

El orden de los elementos son:

1. Pida $=7, 1+1+1+1+1+1+1\equiv 0\pmod 7$

2. Pida $=7,2\times 7 = 14\equiv 0\pmod 7$

3. Pida $=7,3\times 7 = 21 \equiv 0\pmod 7$

4. Pida $=7,4\times 7 = 28 \equiv 0\pmod 7$

5. Pida $=7,5\times 7 = 35 \equiv 0\pmod 7$

6. Pida $=7,6\times 7 = 42 \equiv 0\pmod 7$

El conjunto de elementos generados por cada elemento son:

1. $\{1,2,3,4,5,6,0\}$ ,

2. $\{2,4,6,1,3,5,0\}$ ,

3. $\{3,6,2,5,1,4,0\}$ ,

4. $\{4,1,5,2,6,3,0\}$ ,

5. $\{5,3,1,6,4,2,0\}$ ,

6. $\{6,5,4,3,2,1,0\}$ ,

Entonces, ¿hay un solo subgrupo = el grupo $\lbrace \mathbb{Z}_n, + \rbrace$ ?
Pero, el ordenamiento de los elementos correspondientes a cada uno son únicos, aunque como conjunto no importa.

Pero, cuando se cambia la operación a la multiplicación, entonces el mismo tamaño de subgrupo no está allí, para todos los elementos. Aunque, el grupo multiplicativo tiene que excluir el elemento $0$ como propiedad de cierre entonces no se satisface.

Para los generadores de $\lbrace \mathbb{Z}_7, \times \rbrace$ el conjunto de valores de los elementos del conjunto: $\{1,2,\dots,n-1\}$ son:

$1> \{1\}$
$2> \{2,4,1\}$
$3> \{3,2,6,4,5,1\}$
$4> \{4,2,1\}$
$5> \{5,4,6, 2,3,1\}$
$6> \{6,1\}$

Los subgrupos de $\lbrace \mathbb{Z}_7 \rbrace^{\times}$ son : $\{1\}, \{1,6\},\{1,2,4\},\{1,2,3,4,5,6\}$ .

También, por qué no es necesario en el caso de este último que para primar $n$ todos los elementos del conjunto $\{1,2,\dots,n-1\}$ ¿son generadores?

Digamos que, por encima de sólo elementos $3,5$ son generadores.

Del mismo modo, para $\lbrace \mathbb{Z}_{23} \rbrace^{\times}$ los elementos $2,3$ no son generadores como $|2|=|3|=11, |6|=5$ , mientras que $|7|=|5|=23$ .

Answer 1

Aquí $(\mathbb{Z}_{p}, +) $ es un grupo cíclico finito de orden $p$ .

También $0\neq a\in \mathbb{Z}_p$ implica $|a|=p$ (Teorema de Lagrange y unicidad del elemento de orden $1$ en un grupo).

Por lo tanto, todos los elementos no identitarios de $\mathbb{Z}_p$ son generadores.

En caso de $U_{p}=\mathbb{Z}_{p}^{\star}=\{1,2,3,\ldots ,p-1\}.$

Tenemos que $(U_p, \times)$ es un grupo de orden $\varphi(p)=p-1$

Ver la diferencia, cualquier elemento no identitario de $U_p$ puede no tener orden $p-1$ .

Para evitar la trivialidad asuma $p>3$ y $\varphi(n)$ es incluso para todos $p>3$ . Por lo tanto, $2\mid\text{ord}(U_p) $ . Entonces, por el teorema de Cauchy, $U_p$ tiene un elemento de orden $2$ que no puede generar el grupo $U_p (p>3)$ .

De nuevo, ya que $U_p$ es un grupo abeliano finito, para todo divisor de $\varphi(p) $ existe un elemento de ese orden. Por lo tanto, para todos los elementos cuyo orden divide $\varphi(p) $ y menos de $\varphi(p) $ no genera $U_p$ (dicho elemento existe para $p>3$ como $\varphi(p)$ es compuesto).

En su ejemplo $|U_{23}|=\varphi(23)=22$ .

Entonces los elementos de orden $2$ , $11$ no son generadores.