Problema con límite de 2 variables $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}$

Question

Intenté resolver el límite:

$\lim \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}$ con $(x,y) \to (0,0)$

Lo he probado con las rutas $x=0, y=0, y=x, y=x^2$ y todo fue a $0$ .

Ahora sospecho que este límite realmente va a $0$ Pero, ¿cómo lo pruebo?

Gracias y perdón por mi inglés.

Answer 1

$|x| \leq \|(x,y)\|_2$ y $|y| \leq \|(x,y)\|_2$ entonces $$|x^2 y^2| \leq \|(x,y)\|_2^4$$ El denominador es exactamente $\|(x,y)\|_2$ el límite es el siguiente.