¿Cuántas permutaciones de 160 salidas del binomio B(1, p) si p varía?

Question

Pido disculpas por el título de la pregunta si no es exacto. He pasado mucho tiempo intentando formularla. Voy a intentar explicarlo con un ejemplo...

Supongamos una distribución binomial como B(1, p) en la que hay una elección binaria de 1 o 0 como salida, y p es la probabilidad de que la salida sea 1. Ahora supongamos que generamos 160 salidas. Esta es mi pregunta: Me interesa saber cuántas permutaciones (el orden importa) de los 160 números de salida hay en un caso general en el que p puede variar.

Así que para B(1, 0.5) en promedio, podemos tener 160! /(80! * 80!) permutaciones de unos y ceros que es ~ 10^47. Obtengo esta fórmula de https://math.stackexchange.com/a/452/394771 .

¿Cuál sería el número medio de permutaciones para 160 salidas del caso general de B(1, p) si p es una variable y no es igual a 0,5?

Otro ejemplo:

Tome p = 0,1, y obtenga 160 resultados de la distribución B(1, 0,1). ¡En promedio, obtendrá 16, y por lo tanto el número medio de permutaciones únicas es 160! / (¡16! x 144!) o 4,1^21. ¿Cuál es la fórmula general para cualquier p? Mi fórmula se colapsa para valores decimales largos de p en los que la media binomial no es un número entero, como p = 0,557, lo que da una media de 89,12. El factorial de 89,12 es complicado para mí.

Siento exactamente lo que quiero pero no puedo expresarlo con claridad, así que por favor tened paciencia conmigo. Sólo soy un ingeniero :-(

Answer 1

Vale, creo que por fin entiendo el problema.

Si se extrae una muestra de $160$ números aleatorios independientes, donde la probabilidad de sacar un uno es $p$ y la probabilidad de sacar un cero es $1-p$ , entonces la probabilidad de que tenga $k$ (por lo tanto $160-k$ ceros) en la muestra es $\binom{160}{k} p^k (1-p)^{160-k}$ . El número de secuencias posibles de $k$ y $160-k$ ceros es $\binom{160}{k}$ . Por tanto, el número esperado de secuencias posibles de longitud $160$ que podría generarse permutando el original $160$ números es $$\sum_{k=0}^{160} \binom{160}{k}^2 p^k (1-p)^{160-k}$$

Tal vez esta expresión pueda simplificarse, pero no veo cómo hacerlo ahora mismo.

Answer 2

Tome p = 0,1, y obtenga 160 resultados de la distribución B(1, 0,1). ¡En promedio, obtendrá 16, y por lo tanto el número medio de permutaciones únicas es 160! / (¡16! x 144!) o 4,1^21. ¿Cuál es la fórmula general para cualquier p?

Dejemos que $(X_1,...,X_n)$ sea la secuencia de $n$ variables aleatorias independientes, cada una distribuida como $\text{Binomial}(1,p),$ y que $S_n=X_1+...+X_n$ (que equivale al número de $1$ s en la secuencia).

Dejemos que $A_n$ sea el número de formas diferentes de ordenar la secuencia binaria aleatoria $(X_1,...,X_n)$ . (En combinatoria se denominan arreglos mientras que el término permutaciones se refiere a las secuencias todo cuyos elementos son distintos). Esto viene dado por el siguiente coeficiente binomial:

$$A_n = \binom{n}{S_n}.$$

Ahora podemos considerar el valor esperado de $A_n$ :

$$\begin{align}E[A_n]&=E\,\binom{n}{S_n}\\[2ex] &=\sum_\limits{k=0}^{n}\,\binom{n}{k}\,P(S_n=k)\\[2ex] &=\sum_\limits{k=0}^{n}\,\binom{n}{k}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\[2ex] &=\sum_\limits{k=0}^{n}\,\binom{n}{k}^2\,p^k(1-p)^{n-k}\\[2ex] &= \ _2F_1\left(-n;-n;1;{p\over 1-p}\right)\,(1-p)^n \end{align}$$

donde $_2F_1$ es el función hipergeométrica ordinaria que en este caso es un polinomio en $p$ . (Para obtener esto y los resultados de abajo, he utilizado Wolfram Alpha .)

Tenga en cuenta que $E[A_n]$ en función de $p$ se maximiza con $p={1\over 2}$ : $$\left\{E[A_n]\right\}_{p={1\over 2}}=2^n{\left(n-{1\over 2}\right)!\over n!\,\sqrt{\pi}}\sim 2^n\sqrt{{1\over n\,\pi}}.$$

NB : En lugar de calcular el número medio de arreglos , $E[A_n]=E\,\binom{n}{S_n}$ , ha calculado el número de arreglos de una secuencia que tiene el número medio de $1$ s es decir, $\binom{n}{E[S_n]}=\binom{n}{np}$ cuando $np$ es un número entero; entonces se confundió qué hacer en caso de que $np$ no es un número entero. Aunque creo que $E[A_n]$ es probablemente la cantidad que quieres mirar, sin embargo la cantidad que estabas usando puede ser naturalmente extendida a los no enteros, usando el Función gamma :

$$\binom{n}{E[S_n]}=\binom{n}{np}={n!\over (np)!\,(n(1-p))!}$$ donde $x!$ se extiende a todos los reales $x$ excepto los enteros negativos, por la definición $$x!::=\Gamma(x+1).$$ Esto también se maximiza con $p={1\over 2}$ para el que su comportamiento asintótico difiere del anterior en un factor de $\sqrt{2}$ : $$\left\{\binom{n}{E[S_n]}\right\}_{p={1\over 2}}=\binom{n}{n\over 2}\sim 2^n\sqrt{{2\over n\,\pi}}. $$