Integrales - Cambio de variables y límites permitidos

Question

Considere la siguiente integral

F = $\int_0^\pi dy \\$

El valor de F = $\pi$

Quiero saber en qué me equivoco cuando hago lo siguiente:

Sustituir $x = \sin(y)$ Cuando hago eso la integral se convierte en: $F = \int_0^0 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ ¿Por qué no es válida esta forma particular de cambio de variables?

Answer 1

Al hacer la sustitución, se obtiene $y = \sin^{-1} x$ pero el rango del arcoseno es $[-\pi/2,\pi/2]$ . Por lo tanto, no hay $x$ tal que $\sin^{-1} x = \pi \notin [-\pi/2,\pi/2]$ por lo que su sustitución no es válida.

Answer 2

Profundicemos en la sustitución. Si $x=\sin y, dx=\cos ydy$ . Ahora

$$\int dy=\int\sec y\cos ydy$$

Desde $dx=\cos ydy$ Tenemos que averiguar $\sec y$ en términos de $x$ . Desde $0$ à $\frac\pi2$ tenemos $\sec y=\frac1{\sqrt{1-\sin^2y}}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ . Sin embargo, desde $\frac\pi2$ à $\pi$ El coseno es negativo. Por lo tanto,

$$F=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}+\int_1^0-\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$

Answer 3

Tenga en cuenta que la función de cambio de variable es problemática aquí; no está definida en $x = 1$ . (Como $y$ pasa de $0$ à $\pi$ tenemos $x$ pasando de $0$ à $0$ pero a través de $1$ .)