Considere cualquier $\delta \gt c \gt 0$ . Demostrar que existe un $k \in \mathbb N$ y $z \in \mathbb N$ tal que $z\cdot \frac{1}{k} \in [c, \delta)$

Question

Necesitaba este lema para un ejercicio y me preguntaba si había formas más tradicionales de demostrarlo.

Considere cualquier $\delta \gt c \gt 0$ . Demostrar que existe un $k \in \mathbb N$ y $z \in \mathbb N$ tal que $z\cdot \frac{1}{k} \in [c, \delta)$ .

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Por el Propiedad de Arquímedes Hay un $k \in \mathbb N$ tal que $\frac{1}{k} \lt |c - \delta|$ .

Hay tres posibilidades:

Caso 1) $\frac{1}{k} = c$

Caso 2) $\frac{1}{k} \gt c$

Caso 3) $\frac{1}{k} \lt c$

En Caso 1 , simplemente deja que $z=1$ .

En Caso 2 recordando que $\frac{1}{k} \lt |c-\delta|=\delta -c$ tenemos que $\frac{1}{k}+c \lt \delta$ . Observando que $c \gt 0$ tenemos entonces..: $\frac{1}{k} \lt \frac{1}{k}+c \lt \delta$ lo que implica que $\frac{1}{k} \lt \delta$ . Combinando esto con $\frac{1}{k}\gt c$ es evidente que $\frac{1}{k} \in (c,\delta)$ . Por lo tanto, podemos dejar que $z=1$ .

En Caso 3 En primer lugar, observamos que, debido a que $\mathbb N$ es un conjunto no limitado, existe un $z'$ tal que $z' \geq ck$ . Reordenando, tenemos que $\frac{1}{k}\cdot z' \geq c$ . Si $\frac{1}{k}\cdot z'=c$ hemos terminado. Así que dejemos $\frac{1}{k}\cdot z' \gt c$ .

Ahora, consideremos el conjunto $S=\left\{z \in \mathbb N: \frac{1}{k}\cdot z \gt c\right\}$ . Por supuesto, sabemos que $\frac{1}{k}\cdot z' \gt c$ , así que claramente $z' \in S$ , lo que significa que $S \neq \emptyset$ . Por lo tanto, por la Principio de ordenación hay un elemento mínimo $z^* \in S$ . Es importante destacar que, debido a que $\frac{1}{k} \lt c$ Debemos tener $z^* \geq 2$ . Consideremos el número natural $(z^*-1)$ que sabemos que existe porque $(z^*-1) \geq 1$ . Claramente, $(z^*-1) \notin S$ porque $z^*-1 \lt z^*$ y $z^*$ es el elemento mínimo de $S$ . Esto significa que $\frac{1}{k}\cdot (z^*-1) \leq c$ . Si es igual, hemos terminado. Así que supongamos $\frac{1}{k}\cdot (z^*-1) \lt c \quad (*)$ .

Recordando que $\frac{1}{k} \lt \delta -c$ tenemos que $c+\frac{1}{k} \lt \delta$ . En combinación con $(*)$ tenemos entonces..:

$$\frac{1}{k}\cdot(z^*-1)+\frac{1}{k} \lt c+\frac{1}{k} \lt \delta$$

Observando que $\frac{1}{k}(z^*-1)+ \frac{1}{k} = \frac{1}{k} \cdot z^*$ Debemos tener $\frac{1}{k}\cdot z^*\lt \delta$ . Porque $z^* \in S$ concluimos con $c \lt \frac{1}{k} \cdot z^* \lt \delta \iff \frac{1}{k} \cdot z^* \in (c,\delta)$ .

Answer 1

Me gusta tu prueba, pero creo que esta es una prueba más corta en el mismo sentido:

$z \cdot \frac{1}{k} \in [c, \delta)$ equivale a $c \leq \frac{z}{k} < \delta,$ o a su vez $ck \leq z < \delta k.$ Como se nota, por la propiedad de Arquímedes tenemos que existe algún natural $k$ tal que $\frac{1}{k} < \delta - c,$ así que $1 < \delta k - ck$ y $ck + 1 < \delta k.$

Ahora dejemos que $z$ sea el menor número entero mayor o igual a $ck.$ Debemos tener esa $z < ck + 1,$ porque de lo contrario si $z \geq ck + 1$ entonces $z - 1 \geq ck,$ y porque $z - 1$ es un número entero si $z$ es entonces $z$ no es el menor número entero mayor que $ck,$ provocando una contradicción. Así que, $ck \leq z < ck + 1 < \delta k.$

Los elementos clave aquí son que siempre podemos hacer $[ck, \delta k)$ tienen una longitud de al menos $1,$ y que en cualquier intervalo de longitudes mínimas $1$ debe haber un número entero.

Answer 2

Dejemos que $\ c,\ \delta\ $ sea tal que $ \delta > c > 0.$

Por el Propiedad de Arquímedes Hay un $k \in \mathbb N$ tal que $\ 0<\frac{1}{k} \lt \delta-c$ .

Para cualquier $\ x>0,\ $ siempre hay un máximo entero no negativo $\ m\ $ tal que $\ m<x.\quad (*) $

Desde $\ ck>0,\ $ existe un número entero no negativo máximo $\ m\ $ tal que $\ m < ck,\implies\frac{m}{k} < c.\ $ Entonces $\ \frac{m+1}{k}\geq c\ $ y $\ \frac{m}{k} + \frac{1}{k} < c + \frac{1}{k} < c + \delta - c = \delta,\ $ es decir, $\ c\leq\frac{m+1}{k}<\delta,\ $ y el resultado se demuestra con $\ z= m+1.$

$\ (*)\ $ es cierto porque $\ 0<x,\ $ y por lo tanto si $\ (*)\ $ no fuera cierto, entonces $\ x\ $ es mayor que cualquier número entero no negativo, y ningún número real tiene esta propiedad.