Identidad del coeficiente binomial encontrada en el teorema de Apéry

Question

En la prueba de Apéry de la irracionalidad de $\zeta(3)$ mientras se demuestra la fórmula de la serie de conversión rápida $\zeta(3)=\frac{5}{2} \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{ (-1)^{k-1}} {k^{3}\binom {2k}{k}}}$ existe la siguiente identidad:

$$ \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!^2}{n^2(n^2-1^2)\ldots(n^2-(n-1)^2)} = \frac{2(-1)^{n-1}}{n^2 \binom{2n}{n}}, $$

para un número entero positivo $n>0$ . No puedo, por mi vida, averiguar cómo demostrar que esto es cierto. Eliminando en ambos lados el $(-1)^{n-1}$ en el numerador y el $n^2$ en el denominador, nos queda:

$$ \frac{(n-1)!^2}{(n^2-1^2)\ldots(n^2-(n-1)^2)} = \frac{2}{ \binom{2n}{n}}. $$

Pero esto ya parece absurdo. Usando Wolfram Alpha muestra)%20-%20(2/(2n%20choose%20n))) que el LHS-RHS no es cero, por lo que la "identidad" no se cumple.

¿Qué me falta? Tenga en cuenta que estoy utilizando El documento de Van der Poorten para entender la prueba de Apéry. La identidad en cuestión puede verse en la página titulada " 197 ", en la parte inferior de la columna de la izquierda.

Answer 1

Para cada número entero $k$ tenemos $n^2 - k^2 = \left(n-k\right) \left(n+k\right)$ . Así, \begin{align*} \prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(n^2-k^2\right) &= \prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(\left(n-k\right) \left(n+k\right)\right) = \underbrace{\left(\prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(n-k\right) \right)}_{=\left(n-1\right)!} \underbrace{\left(\prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(n+k\right)\right)}_{= \left(2n-1\right) \left(2n-2\right) \cdots \left(n+1\right)} \\ &= \left(n-1\right)! \left( \left(2n-1\right) \left(2n-2\right) \cdots \left(n+1\right) \right) . \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} \dfrac{\prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(n^2-k^2\right)}{\left(n-1\right)!^2} &= \dfrac{\left(n-1\right)! \left( \left(2n-1\right) \left(2n-2\right) \cdots \left(n+1\right) \right)}{\left(n-1\right)!^2} \\ &= \dfrac{\left(2n-1\right) \left(2n-2\right) \cdots \left(n+1\right) }{\left(n-1\right)!} \\ &= \dfrac{\left(2n\right) \cdot \left( \left(2n-1\right) \left(2n-2\right) \cdots \left(n+1\right) \right)}{\left(2n\right) \cdot \left(n-1\right)!} \\ &= \dfrac{\left(2n\right) \left(2n-1\right) \left(2n-2\right) \cdots \left(n+1\right) }{2 n \cdot \left(n-1\right)!} \\ &= \dfrac{\left(2n\right) \left(2n-1\right) \left(2n-2\right) \cdots \left(n+1\right) }{2 n!} \qquad \left(\text{since } n \cdot \left(n-1\right)! = n! \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \underbrace{\dfrac{\left(2n\right) \left(2n-1\right) \left(2n-2\right) \cdots \left(n+1\right) }{n!}}_{\substack{=\dbinom{2n}{n}\\ \text{(by the definition of }\dbinom{2n}{n}\text{)}}} \\ &= \dfrac{1}{2} \dbinom{2n}{n}. \end{align*} Tomando el recíproco de ambos lados, obtenemos \begin{align*} \dfrac{\left(n-1\right)!^2}{\prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(n^2-k^2\right)} = \dfrac{2}{\dbinom{2n}{n}} . \end{align*} En otras palabras, \begin{align*} \dfrac{\left(n-1\right)!^2}{\left(n^2-1^2\right)\left(n^2-2^2\right)\cdots\left(n^2-\left(n-1\right)^2\right)} = \dfrac{2}{\dbinom{2n}{n}} . \end{align*}