Poder de suspender una masa en el aire

Question

¿Cuánta energía se necesita para suspender una masa en el aire?

Las cuatro partes siguientes abordan el mismo problema. Las publico todas aquí, por si hay alguna cosa sutil que no haya visto.

El problema de los libros de texto

Un libro de texto de física universitaria de la 9ª edición tiene esto como un problema de ejemplo en su capítulo de energía (los detalles se han limpiado):

Una cabina de ascensor ("un ascensor") y sus pasajeros tiene una masa de 1800 kg y una fuerza de fricción despreciable en toda su parte móvil. Qué potencia debe entregar un motor para elevar la cabina del ascensor y sus pasajeros a una velocidad constante de 3,00 m/s? Respuesta : La velocidad es constante, por lo que $a=0$ . Ahora dejemos que $F$ sea la fuerza total y $T$ sea la fuerza ejercida por el motor. Entonces, $$\sum F = T-Mg = 0 \qquad \Rightarrow \qquad T = Mg$$ con potencia = fuerza x velocidad, tenemos entonces $$P = T\cdot v = Mg \cdot v$$ $$P = 1800 \,kg\cdot9.8\,m/{s^2}\cdot 3.00\,m/s=5.29\times10^4\,{\textrm W}$$ Y, ¿qué potencia debe entregar el motor en el instante en que la velocidad del ascensor es $v$ si el motor está diseñado para proporcionar a la cabina del ascensor una aceleración ascendente de 1,00 m/s por segundo? Respuesta : Ahora $a=1.00 \,m/{s^2}$ y luego $$\sum F = T-Mg = Ma \qquad \Rightarrow \qquad T = M(a+g).$$ Procediendo como antes, tenemos $$P = T\cdot v = M(a+g) \cdot v$$ $$P = 1800 \,kg\cdot (1.00+9.8)\,m/{s^2}\cdot 3.00\,m/s= 5.83 \times10^4\,{\textrm W}.$$ Así termina el ejemplo.

Mis preguntas . También podríamos preguntar a estos:

1. ¿Cuánta potencia debe suministrar el motor para suspender el ascensor y sus pasajeros para que se mantenga a la altura constante? ¿Es decir, a velocidad cero? Ciertamente no puede ser cero, ¿verdad? Porque si no, la cabina del ascensor caería libremente. Pero, ¿cuál es la potencia necesaria?
2. Qué potencia debe entregar el motor en el instante en que la velocidad del ascensor es $v=3.00$ (como antes) si el motor está diseñado para proporcionar a la cabina del ascensor una hacia abajo ¿aceleración de 1,00 m/s por segundo?

He estado buscando una respuesta pero sin éxito.

El problema del helicóptero

Esto es el verdadera pregunta que motiva este post.

Me ha preguntado un amigo que va a construir un aeromodelo. "Bien, tengo un motor de 2000 W para mi aeromodelo de 50 kg. Suponiendo una eficiencia del 100%, ¿podrá flotar a 1 m del suelo durante al menos 1 minuto?"

No puedo responder a eso.

"Bien, entonces, ¿cuál es la potencia mínima requerida para el motor si quiero que flote 1 m por encima del suelo, asumiendo una eficiencia del 100%?"

Preguntaré a physics.se

El problema de la polea

Esta es una versión más sencilla de los dos problemas anteriores. Utilizando una cuerda y una polea, ¿cuál es la potencia mínima necesaria para que un hombre suspenda una masa de 1 kg en el aire a 1 m del suelo durante 1 segundo?

El problema de la tabla o la cadena

No hay mucho problema aquí. ¿Suspender una masa de 1 kg a 1 m del suelo? Muy sencillo. Ponerla sobre una mesa, o colgarla con una cuerda. No hay movimiento. No se necesita energía.

¿Qué está pasando aquí?

Answer 1

Algunas reflexiones para ayudarte en tu camino.

Cuando un ascensor se mueve, hay que hacer un trabajo contra la gravedad. Estás cambiando la energía potencial del sistema. Cuanto más rápido se mueve el ascensor, más trabajo se necesita por unidad de tiempo (porque potencia = trabajo / tiempo = fuerza * velocidad ). Si cambias la velocidad de un objeto, estás cambiando su energía cinética: si se ralentiza, te devuelve energía; si se acelera, tienes que darle más energía.

Si la cabina del ascensor no se mueve, no hay que hacer ningún TRABAJO. Todavía se necesita una FUERZA - pero se puede hacer un nudo en el cable y desconectar la energía: la cabina del ascensor permanecerá en su lugar, sin electricidad, sin que se genere calor...

El ejemplo del helicóptero es diferente. La única razón por la que un helicóptero puede flotar es porque es empujando el aire hacia abajo . Cada segundo que pasa en el aire, necesita mover un volumen de aire a una velocidad determinada. En este caso, la ecuación útil es

$$F\Delta t = \Delta p$$

El cambio de momento del aire te indica la fuerza que puedes obtener. Esto puede hacerse moviendo un gran volumen de aire un poco, o moviendo un poco de aire mucho. Ambas situaciones te darán el mismo impulso, pero como la energía va como la velocidad al cuadrado, las aspas más grandes serán más eficientes (hasta el punto en que la resistencia de las aspas se convierte en un factor importante).

Para resolver el problema que planteas, necesitas saber el tamaño de las palas del helicóptero. Haciendo algunas suposiciones muy simplificadas (falta al menos un factor 2 en esto - pero sólo para tener la idea): si tienes una pala de helicóptero que barre un área $A$ y empuja el aire de densidad $\rho$ con la velocidad $v$ entonces la fuerza es

$$F = m \cdot v = (A\rho v)\cdot v = A\rho v^2$$

y la potencia necesaria (energía cinética del aire empujado hacia abajo por segundo) es

$$E = \frac12 m v^2 = \frac12 (A \rho v) v^2 = \frac12 A \rho v^3$$

Si asumimos $A=3m^2$ (aproximadamente 1 m de radio), y $\rho=1 kg/m^3$ entonces para una fuerza de $500 N$ necesitamos una velocidad

$$v = \sqrt{\frac{F}{A\rho}} = \sqrt{\frac{500}{3}} = 13 m/s$$

y la potencia requerida es

$$E = \frac12 A \rho v^3 = \frac12\cdot 3 \cdot 13^3 = 3.3 kW$$

Esto es un poco más alto que los 2kW que tienes disponibles. La solución sería aumentar el tamaño de los rotores: cuanto mayor sea la superficie, menor será la velocidad del aire y mejor será.

En cuanto a la polea y la cuerda, o la cuerda fija - ver los comentarios que hice sobre el ascensor. Cuando nada se mueve, no se realiza ningún trabajo. En el caso del helicóptero, aunque éste no se mueva, sí lo hacen las alas (palas del rotor) y el aire que se mueve (y cuyo movimiento proporciona la fuerza necesaria para mantener el helicóptero en el aire).

Espero que esto aclare su comprensión.

Answer 2

En cuanto al problema del helicóptero, en teoría, una potencia arbitrariamente baja puede ser suficiente para hacer flotar una carga, si se empuja hacia abajo mucho aire con una velocidad muy baja. Sin embargo, para ello se necesitan palas más largas y ligeras (y quizá más anchas), por lo que el problema que habrá que resolver es el de la resistencia estructural. Permítanme señalar que hace poco un helicóptero de propulsión muscular ( http://en.wikipedia.org/wiki/Human-powered_helicopter ) se demostró.

Answer 3

Se necesita energía para empujar algo a lo largo de una distancia. En el caso del ascensor, cuando no se está moviendo se puede poner un freno y quitar la energía y el ascensor se mantendrá en su sitio. Eso es porque no se necesita energía para mantener algo quieto.

Pero espera, si todo lo que quiero hacer es mantener el helicóptero quieto, ¿entonces no requiere ninguna energía?

Más o menos. No sólo tienes que conservar la energía, sino también el impulso. La gravedad dará a tu helicóptero un impulso hacia abajo a un ritmo constante que debe perder para permanecer inmóvil. En el caso del ascensor, la cabina dio el impulso al cable, que dio el impulso al edificio, que lo dio al suelo, que lo dio al suelo, que se equilibró con un montón de otras transferencias de impulso para resultar en ningún movimiento neto.

En el caso del helicóptero debe transferir este impulso al aire. En realidad, se trata de un proceso bastante complicado, pero se puede aproximar con lo siguiente:

Supongamos que las cuchillas cubren un área $A$ y que el aire pasa hacia abajo a una velocidad $v_1$ dado un impulso de presión de $\Delta p$ .

Ahora bien, el aire ambiente se encuentra a la misma presión, por lo que esta diferencia de presión debe transformarse en una diferencia de velocidad a través de la fórmula de Bernoulli. Así que llamemos a la presión atmosférica $p_0$ la presión directamente por encima de las palas $p_1$ y la presión por debajo de las cuchillas $p_2$

Ahora bien, si suponemos que el aire que entra por la parte superior del helicóptero comienza con una velocidad despreciable, entonces para acelerar a $v$ in debe sufrir una caída de presión de

$$p_0-p_1=\frac12 \rho v^2$$

Y el aire que sale, en el proceso de volver a la presión atmosférica debe cambiar de velocidad según la ecuación

$$p_2+\frac12 \rho v^2=p_0 + \frac12 \rho {v_f}^2$$

Donde $v_f$ es la velocidad final del aire que se mueve hacia abajo.

Combinando estas ecuaciones se obtiene:

$$\Delta p = \frac12 \rho {v_f}^2$$

Por la conservación del momento sabemos que la elevación $L$ debe ser igual a la tasa de masa por el cambio de velocidad:

$$\dot m = A\,\rho\,v$$ $$\Delta v = v_f$$

$$L= \dot m \Delta v = A\,\rho\,v\,v_f$$

También sabemos que la elevación debe ser igual a la diferencia de presión por el área:

$$L = \Delta P \, A$$

equiparando

$$A\,\rho\,v\,v_f=\Delta P \, A$$

$$\rho\,v\,v_f=\Delta P$$

y desde antes

$$\Delta p = \frac12 \rho {v_f}^2$$

$$\rho\,v\,v_f = \frac12 \rho {v_f}^2$$

$$v = \frac12 v_f$$

¿Son las necesidades de energía $W$ se dan como la fuerza en el aire por la velocidad.

$$W= L \, v$$

$$W= L\,\frac12 v_f$$

$$W= L\,\frac12 \sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho}}$$

$$W= L\,\sqrt{\frac{\Delta P}{2\rho}}$$

$$W= L\,\sqrt{\frac{L}{2\rho A}}$$

$$W= \frac{L^\frac32}{\sqrt{2\rho A}}$$

Hay que tener en cuenta que este análisis supone una eficiencia perfecta, mientras que en la realidad supongo que las palas de los helicópteros tienen una eficiencia de alrededor del 30%. Pero la escala debería ser al menos correcta. Los requisitos de potencia crecerán con el peso hasta la potencia de 1,5 y serán inversamente proporcionales a la longitud de las palas.

Introducir los números

Ya que no incluiste un área para que un helicóptero de 50kg impulsado con un motor de 2000W pueda volar necesitaría palas que barran un diámetro $D$

$$4 A=\pi D^2$$

$$D= \frac{L^\frac32}{W}\sqrt{\frac2{\pi\,\rho}}$$

$$D= \frac{(g \,50 kg)^\frac32}{2000W}\sqrt{\frac2{\pi\, 1.2 \frac{kg}{m^3}}}\approx 4 m$$

Así que mi opinión sería que no, el modelo de helicóptero no volaría, ya que sus aspas probablemente no son tan largas.