Medida exterior de la medida exterior

Question

Tengo una pregunta sobre los deberes y estoy totalmente confundido... Agradecería cualquier ayuda o pista.

Dejemos que $S$ sea un álgebra de subconjuntos de un conjunto $X$ , y que $\mu$ sea una medida previa en $S$ .

Podemos construir una medida externa $\mu^*$ como se muestra aquí:

$$\mu^* \left({E}\right) = \inf \ \left\{{\sum_{n=0}^\infty \mu\left({A_n}\right) : A_n \in S, \ E \subseteq \bigcup_{n=0}^\infty A_n}\right\}.$$

Ahora, podemos mirar el $\sigma$ -de todas las $\mu^*$ -conjuntos medibles, denotémoslo $M$ .

La medida exterior $\mu^*$ es entonces una medida sobre $M$ .

Ahora, podemos tomar esta medida en $\mu^*|_M$ y construir de nuevo una medida exterior:

$$\mu^{**} \left({E}\right) = \inf \ \left\{{\sum_{n=0}^\infty \mu^*\left({A_n}\right) : A_n \in M, \ E \subseteq \bigcup_{n=0}^\infty A_n}\right\}.$$

Tengo que demostrar que $\mu^*(E)=\mu^{**}(E)$ por cada $E\subseteq X$ .

Answer 1

Creo que lo siguiente funciona, pero por favor, compruébalo.

Primero, $S\subset M$ así que $\mu^{**}(E)\leq\mu^{*}(E)$ . Por otro lado, teniendo en cuenta $\varepsilon>0$ existe $A_{n}\in M$ tal que $E\subset\bigcup A_{n}$ y $\sum\mu^{*}(A_{n})<\mu^{**}(E)+\varepsilon$ . Entonces podrá ver por qué $\mu^{*}(E)\leq\mu^{**}(E)$ .