Le prometí a Sean una respuesta detallada, así que aquí está.
Como ya ha mencionado José, sólo es $G_2$ (de los cinco grupos de Lie excepcionales) que puede surgir como grupo de holonomía de una variedad riemanniana. La clasificación de Berger en los años 50 no pudo descartarla, como tampoco pudo descartar el grupo de Lie $\mathrm{Spin}(7)$ pero en general se creía que no era posible que existieran. Sin embargo, a principios de la década de 1980, Robert Bryant logró demostrar la existencia de local ejemplos (sobre bolas abiertas en espacios euclidianos). Luego, a finales de la década de 1980, Bryant y Simon Salamon encontraron los primeros ejemplos completos y no compactos de tales variedades, en espacios totales de ciertos haces vectoriales, utilizando métodos de simetría (cohomogeneidad uno). (Desde entonces hay muchos ejemplos de cohomogeneidad uno no compacta $G_2$ de los físicos). Por último, en 1994 Dominic Joyce sorprendió a la comunidad matemática al demostrar la existencia de cientos de compacto ejemplos. Su prueba no es constructiva, ya que utiliza un análisis duro que implica la existencia y la unicidad de las soluciones de una ecuación elíptica no lineal, al igual que la solución de Yau de la conjetura de Calabi da una prueba no constructiva de la existencia y la unicidad de la métrica de Calabi-Yau (holonomía $\mathrm{SU}(n)$ métricas) en las variedades de Kahler que satisfacen ciertas condiciones. (En el año 2000 Alexei Kovalev encontró una nueva construcción de $G_2$ de los colectores que produjeron varios centenares más de ejemplos no explícitos. Estas son las dos únicas construcciones compactas conocidas hasta la fecha). Es precisamente esta similitud con las variedades de Calabi-Yau (y con las variedades de Kahler en general) lo que voy a explicar.
Cuando se trata de holonomía riemanniana, el aspecto del grupo $G_2$ lo importante no es realmente que sea uno de los cinco grupos de Lie excepcionales, sino que es el grupo de automorfismo de los octoniones $\mathbb O$ , un $8$ -dimensional no asociativo álgebra de la división real. Los octoniones vienen equipados con un producto interno definido positivo, y el tramo del elemento identidad $1$ se llama real octoniones mientras que su complemento ortogonal se llama imaginario octonions $\mathrm{Im} \mathbb O \cong \mathbb R^7$ . Esto es totalmente análogo a los cuaterniones $\mathbb H$ , salvo que la no asociatividad introduce algunas complicaciones nuevas. De hecho, la analogía nos permite definir un producto cruzado en $\mathbb R^7$ de la misma manera, como sigue. Sea $u, v \in \mathbb R^7 \cong \mathrm{Im} \mathbb O$ y definir $u \times v = \mathrm{Im}(uv)$ , donde $uv$ denota el producto octonión. (De hecho, la parte real de $uv$ es igual a $-\langle u, v \rangle$ , al igual que para los cuaterniones). Este producto cruzado satisface las siguientes relaciones: \begin{equation} u \times v = - v \times u, \qquad \qquad \langle u \times v , u \rangle = 0, \qquad \qquad {|| u\times v||}^2 = {|| u \wedge v ||}^2, \end{equation} exactamente como el producto cruzado en $\mathbb R^3 \cong \mathrm{Im} \mathbb H$ . Sin embargo, hay una diferencia, a diferencia del producto cruzado en $\mathbb R^3$ la siguiente expresión es no cero: \begin{equation} u \times (v \times w) + \langle u, v \rangle w - \langle u, w \rangle v \end{equation} sino que es una medida del fracaso de la asociatividad $(uv)w - u(vw)$ hasta un factor. Obsérvese que en $\mathbb R^7$ se puede definir un $3$ -(forma trilineal totalmente asimétrica) utilizando el producto cruzado como sigue: $\varphi(u,v,w) = \langle u \times v, w \rangle$ que se llama asociativo $3$ -formar por razones que no vamos a tratar aquí.
Digresión: De hecho se puede demostrar que sólo en $\mathbb R^3$ y $\mathbb R^7$ se puede construir dicho producto cruzado, y esto está íntimamente relacionado con el hecho de que sólo las esferas $S^2$ y $S^6$ puede admitir estructuras casi complejas. Pero divago...
Volviendo a $G_2$ geometría: a $7$ -de la variedad lisa de las dimensiones $M$ se dice que admite un $G_2$ -si existe una reducción del grupo estructural de su haz de marcos a partir de $\mathrm{GL}(7, \mathbb R)$ al grupo $G_2$ que en realidad puede considerarse naturalmente como un subgrupo de $\mathrm{SO}(7)$ . Para los que están familiarizados con $G$ -Esto le indica que un $G_2$ -determina una métrica riemanniana y una orientación. De hecho, se puede demostrar que en una variedad con $G_2$ -existe una no degenerado $3$ -forma $\varphi$ para el que, dado un punto $p$ en $M$ existe una coordenada local cerca de $p$ tal que, en esas coordenadas, en el punto $p$ La forma $\varphi$ es exactamente el asociativo $3$ -formar en $\mathbb R^7$ que se ha comentado anteriormente. Ahora se puede demostrar que hay una manera de determinar canónicamente tanto una métrica como una orientación de una manera altamente no lineal a partir de esta $3$ -forma $\varphi$ . Entonces se puede definir un producto cruzado $\times$ utilizando esencialmente la métrica para ``subir un índice'' en $\varphi$ . En resumen, un múltiple $(M, \varphi)$ con $G_2$ -estructura viene equipada con una métrica, producto cruzado, $3$ -forma, y orientación, que satisfacen \begin{equation} \varphi(u,v,w) = \langle u \times v , w \rangle. \end{equation} Esto es exactamente análogo a los datos de un colector casi hermitiano que viene con una métrica, una estructura casi compleja $J$ , a $2$ -forma $\omega$ y una orientación, que satisfacen \begin{equation} \omega(u,v) = \langle Ju , v \rangle. \end{equation} Esencialmente, un colector admite una $G_2$ -si se puede identificar cada uno de sus espacios tangentes con los octoniones imaginarios $\mathrm{Im} \mathbb O \cong \mathbb R^7$ de forma suavemente variable, al igual que una variedad casi hermitiana es aquella en la que podemos identificar cada uno de sus espacios tangentes con $\mathbb C^m$ (junto con su producto interno euclidiano) de forma suavemente variable.
Para que un colector admita una $G_2$ -las condiciones necesarias y suficientes son que sea orientable y girar . (Esto equivale a la desaparición de las dos primeras clases de Stiefel-Whitney). Por lo tanto, hay lotes de tal $7$ -de la misma manera que hay muchas variedades casi hermitianas. Pero la historia no acaba aquí.
Dejemos que $(M, \varphi)$ sea una colector con $G_2$ -estructura. Dado que determina una métrica riemanniana $g_{\varphi}$ existe una derivada covariante inducida de Levi-Civita $\nabla$ y uno puede preguntarse si $\nabla \varphi = 0$ ? Si este es el caso, $(M, \varphi)$ se llama $G_2$ -y se puede demostrar que la holonomía riemanniana de $g_{\varphi}$ está contenida en el grupo $G_2 \subset \mathrm{SO}(7)$ . Estos son mucho más difícil porque implica resolver una ecuación diferencial parcial totalmente no lineal para la incógnita $3$ -forma $\varphi$ . En cierto modo son análogas a Kahler que son exactamente aquellas variedades casi hermitianas que satisfacen $\nabla \omega = 0$ pero esos son mucho más fáciles de encontrar. Una de las razones es que la métrica $g$ y la estructura casi compleja $J$ en una variedad casi hermitiana son esencialmente independientes (sólo tienen que satisfacer la condición leve de compatibilidad) mientras que en la $G_2$ caso, la métrica y el producto cruzado se determinan de forma no lineal a partir de $\varphi$ . Sin embargo, la analogía no es perfecta, porque se puede demostrar que cuando $\nabla \varphi = 0$ la curvatura de Ricci de $g_{\varphi}$ necesariamente se desvanece. Así que $G_2$ -Los manifolds son siempre planos de Ricci. (Esta es una de las razones por las que los físicos se interesan por este tipo de variedades: juegan un papel de "compactación" en $11$ -dimensional $M$ -análogo al papel de Calabi-Yau $3$ -se pliega en $10$ -la teoría de las cuerdas de dimensiones). Así que en cierto sentido $G_2$ -manifolds son más bien Ricci-flat Kahler que son las variedades de Calabi-Yau.
De hecho, si permitimos que la holonomía sea un subgrupo propio de $G_2$ Hay muchos ejemplos de $G_2$ -manifolds. Por ejemplo, el toro plano $T^7$ o los colectores de productos $T^3 \times CY2$ y $S^1 \times CY3$ , donde $CYn$ es un Calabi-Yau $n$ -tienen grupos de holonomía riemannianos debidamente contenidos en $G_2$ . En cierto sentido, se trata de ejemplos "triviales" porque se reducen a construcciones de menor dimensión. Las variedades con holonomía completa $G_2$ también se llaman irreducible $G_2$ -y son precisamente estas variedades las que Bryant, Bryant-Salamon, Joyce y Kovalev construyeron.
Nos falta una conjetura de tipo ``Calabi'' que dé condiciones necesarias y suficientes para que un compacto $7$ -que admite $G_2$ -estructuras para admitir una $G_2$ -que es paralela ( $\nabla \varphi = 0$ .) De hecho, ni siquiera sabemos cuál debe ser la conjetura. Hay obstáculos topológicos que se conocen, pero estamos lejos de conocer las condiciones suficientes. De hecho, esta cuestión es más parecida a la siguiente: supongamos $M^{2n}$ es un compacto, suave, $2n$ -que admite estructuras casi complejas. ¿Qué es lo que hay que hacer? y suficiente condiciones para $M$ para admitir las métricas de Kahler? Ciertamente conocemos muchas condiciones topológicas necesarias, pero (hasta donde yo sé, y corríjanme si me equivoco) no estamos ni cerca de conocer las condiciones suficientes.
Lo que hace que la conjetura de Calabi sea manejable (casi he dicho fácil, por supuesto es cualquier cosa menos fácil) es el hecho de que ya empezamos con una variedad de Kahler (holonomía $\mathrm{U}(m)$ métrica) y quiere reducir la holonomía en sólo $1$ dimensión, a $\mathrm{SU}(m)$ . Entonces el $\partial \bar \partial$ -en la geometría de Kahler nos permite reducir la conjetura de Calabi a una EDP elíptica (aunque totalmente no lineal) para un función escalar única . Cualquier "conjetura" análoga, ya sea en el caso de Kahler o en el de $G_2$ casos tendría que implicar una sistema de las EDP, que son mucho más difíciles de tratar.
Este es mi no tan breve curso intensivo de $G_2$ -geometría. Espero que algunos lean hasta el final de esto...
