Teorema 3.22 del bebé Rudin

Question

$\sum a_n$ converge si y sólo si para cada $\varepsilon >0$ hay un número entero $N$ tal que $$\left|\sum_{k=n}^{m}a_k\right|\leqslant \varepsilon$$ si $m\geqslant n\geqslant N$ .

En particular, al tomar $m=n$ la desigualdad anterior se convierte en $$|a_n|\leqslant \varepsilon \quad(n\geqslant N).$$

En otras palabras: Si $\sum a_n$ converge, entonces $\lim_{n\to \infty}a_n=0$

La condición $a_n\to 0$ no es, sin embargo, suficiente para garantizar la convergencia de $\sum a_n$ . Por ejemplo, la serie $\sum \frac{1}{n}$ diverge.

Al leer todo esto tengo una pregunta.

Si para cada $\varepsilon >0$ hay un número entero $N$ tal que $\left|\sum_{k=n}^{m}a_k\right|\leqslant \varepsilon$ si $m\geqslant n\geqslant N$ entonces $\sum a_n$ converge.

Si ponemos aquí $m=n$ por qué no se puede concluir que $\sum a_n$ ¿converge? ¿Dónde está el error?

Answer 1

Porque la declaración es

" $\sum a_n$ converge si y sólo si para cada $\varepsilon >0$ hay un número entero $N$ tal que $$\left|\sum_{k=n}^{m}a_k\right|\leqslant \varepsilon$$ si $m\geqslant n\geqslant N$ ."

Obsérvese que para $\sum a_n$ para converger, $$\left|\sum_{k=n}^{m}a_k\right|\leqslant \varepsilon$$ debe ocurrir para todos $m\ge n\ge N$ .

Elección de $m=n$ es sólo un caso.

En su ejemplo, $\sum\frac1n$ no converge ya que para cada $\varepsilon$ no puede encontrar un $N>0$ tal que $$\left| \frac1n+\frac1{n+1}+\dots \frac1m \right| < \varepsilon$$ para todos $m\ge n\ge N$

Aunque puede encontrar un $N$ para el caso $m=n$ es decir, para cada $\varepsilon$ podemos encontrar un $N$ tal que $$\left| \frac1n \right|< \varepsilon$$ para todos $n \ge N$ por la propiedad arquimédica.

Answer 2

El error es que $$\sum_{k=m}^m a_k = a_m$$ y no dices nada de la serie $\sum_k a_k$ . Usted sólo está mirando el término único $a_m$ .