¿Es la analogía de la vecindad como bola abierta aplicable a espacios topológicos arbitrarios?

Question

Acabo de empezar a aprender topología, y con frecuencia utilizamos ejemplos de conjuntos, subconjuntos abiertos/cerrados, etc. similares a esta imagen:

Mi pregunta es que, en los espacios topológicos donde los conjuntos abiertos no son bolas abiertas, ¿las vecindades $U_x$ de los puntos x siguen teniendo esta propiedad:

A $\subset$ X, x $\in$ A

A es un conjunto abierto <=> $\forall$ x $\in$ A, $\exists$ $U_x$ tal que $U_x$ $\subset$ A

Answer 1

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico. Decimos que un conjunto $N ⊆ X$ es una vecindad de un punto $x ∈ X$ si existe un conjunto abierto $U ⊆ X$ tal que $x ∈ U ⊆ N$ .

Sostiene que un conjunto $U ⊆ X$ es abierta si y sólo si es una vecindad de cada uno de sus puntos. Esto también es equivalente a la siguiente condición: para cada $x ∈ U$ hay un barrio $N_x$ de $x$ tal que $N_x ⊆ U$ .

Del mismo modo, se puede detectar el conjunto abierto sólo con los conjuntos básicos. Decimos que una colección de conjuntos abiertos $\mathcal{B}$ es una base abierta si todo conjunto abierto es una unión de miembros de $\mathcal{B}$ . De ello se deduce que un conjunto $U$ es abierto si y sólo si para cada $x ∈ X$ existe un conjunto abierto básico $B_x ∈ \mathcal{B}$ tal que $x ∈ B_x ⊆ U$ . Para un espacio métrico, la colección de todas las bolas abiertas forma una base abierta de la topología - esta es en realidad la definición de la topología inducida por la métrica.

Además, si se fija un punto $x ∈ X$ . Una base abierta en $x$ es una colección $\mathcal{B}(x)$ de los barrios abiertos de $x$ tal que cada vecindad de $x$ contiene un miembro de $\mathcal{B}(x)$ y, por lo general, también es cerrado bajo intersecciones finitas o, al menos, dirigido. Una base local es una colección $(\mathcal{B}(x): x ∈ X)$ de bases abiertas en los puntos respectivos. De nuevo, un conjunto $U ⊆ X$ es abierto si y sólo si para cada $x ∈ X$ hay un conjunto $B_x ∈ \mathcal{B}(x)$ tal que $B_x ⊆ U$ . Esta estructura es como una base abierta, pero mantiene la información de qué conjunto proviene de qué punto. En un espacio métrico, podemos considerar $\mathcal{B}(x)$ para ser la colección de todas las bolas abiertas centradas en $x$ .