¿Por qué hay tan pocas operaciones con aridad mayor que 2?

Question

En las estructuras algebraicas habituales, como los grupos, anillos, monoides, etc, o en las álgebras procedentes de la lógica como las álgebras booleanas, las álgebras de Heyting y similares las operaciones suelen ser de aridad 0 (constantes), 1 o 2. Mi pregunta es doble:

1. Proporcione ejemplos de álgebras que surjan de forma natural en algún campo (me interesan principalmente las álgebras procedentes de la lógica, pero estoy abierto a cualquier campo) con operaciones de aridad 3 o mayor.

2. ¿Hay alguna razón (más o menos profunda) para que haya tan pocas álgebras con operaciones de aridad mayor que 2?

Gracias de antemano.

Answer 1

Me sorprende que a nadie se le hayan ocurrido las álgebras medianas. Es decir, álgebras dotadas de una única operación ternaria (fundamental) (véase http://en.wikipedia.org/wiki/Median_algebra para una definición y algunas referencias). Generalizan los entramados distributivos ya que la función mediana $(x \vee y) \wedge (y \vee z) \wedge (z \vee x)$ de cualquier retículo distributivo da lugar a un álgebra mediana. Aunque las álgebras medianas siguen teniendo muchas de las bonitas propiedades de las látices distributivas, el concepto es más sutil y la categoría de las álgebras medianas no es equivalente a la de las látices distributivas. Así que la idea de tener esta única operación fundamental ternaria realmente da algo nuevo y, al menos en mi opinión, muy interesante de ver.

Para apoyar mi caso: Las álgebras de Mediana también pueden ser interesantes, ya que tienen una hermosa dualidad con los llamados espacios de Isbell, descritos por primera vez por John Isbell (la referencia se encuentra en el artículo de la wikipedia mencionado anteriormente). Un espacio de Isbell es un espacio de Priestley acotado que también está dotado de cierta operación de complemento (unario).

Answer 2

Una de las razones por las que creo que la mayoría de las operaciones tienen aridad como máximo 2 es que la mayoría de las estructuras algebraicas entran en la siguiente clase estrecha de estructuras y las álgebras de estas clases de estructuras tienden a tener características comunes. La más destacada de estas características es que las operaciones fundamentales en estas estructuras son típicamente operaciones binarias asociativas o se obtienen fácilmente a partir de operaciones binarias asociativas.

Conjuntos ordenados y entramados -Estas estructuras incluyen órdenes lineales, órdenes parciales, retículos, álgebras booleanas, álgebras medianas, álgebras de Heyting, locales, sistemas de cierre.

Estructuras anulares -Anillos, campos, módulos, álgebras, espacios vectoriales, álgebra lineal, semirings, álgebras de Banach. Estas estructuras son generalizaciones de las operaciones de suma y multiplicación en los números naturales.

Estructuras de grupo -Grupos, monoides, categorías, montones, bastidores, cuandras. Estas operaciones se construyen a menudo a partir de la composición de funciones o como grupos de automorfismo.

Creo que la razón principal por la que las estructuras algebraicas tienden a caer en estas estrechas categorías se basa en las siguientes observaciones:

1. Es muy difícil construir una estructura algebraica completamente nueva desde cero utilizando una construcción recursiva que satisfaga buenas propiedades algebraicas. Los números naturales con pueden considerarse como construidos desde cero. El conjunto de todas las cadenas junto con la operación de concatenación es otro ejemplo de estructura algebraica construida desde cero.

2. Los mecanismos para producir nuevas estructuras algebraicas con propiedades algebraicas interesantes a partir de estructuras antiguas tienden a generar nuevas estructuras en las clases mencionadas. Estos mecanismos incluyen la toma de grupos de automorfismo, monoides de endomorfismo, productos (semi)directos, congruencias, varias nociones de terminación, varias nociones de extensión de álgebras (como el cierre algebraico, los grupos de Grothendieck, etc.), etc.

Se pueden generar otros ejemplos de operaciones de mayor aridad, pero rara vez son operaciones fundamentales en las estructuras algebraicas. Por ejemplo, los términos discriminantes y los términos Mal'cev no suelen ser operaciones fundamentales de las estructuras algebraicas (el álgebras patrón son una excepción a esta regla) y tampoco lo son operaciones como el determinante.

Debo mencionar que las pocas estructuras ternarias que aparecen en las tres categorías anteriores suelen obtenerse "olvidando" la unidad u origen o el sentido de la dirección en la estructura original y cuando se vuelve a añadir la unidad o el menor elemento, se obtiene la estructura original. En estas estructuras, la operación ternaria equivale a tener dos variables para sustituir la operación binaria y una tercera variable para denotar el origen que falta. Por lo tanto, hay que tener cuidado al referirse a estas estructuras como verdaderas estructuras ternarias. Por ejemplo, en los espacios afines y los montones, uno se olvida de la unidad de un grupo o de un espacio vectorial. Sin embargo, cuando uno añade la unidad al montón o al espacio afín, acaba teniendo grupos o espacios vectoriales. Del mismo modo, las álgebras medianas pueden obtenerse a partir de retículos distributivos acotados olvidando qué dirección es hacia arriba. Sin embargo, un álgebra mediana puede convertirse fácilmente en un semilatino casi distributivo simplemente declarando que un determinado elemento es el menor.

Este fenómeno de obtener álgebras ternarias olvidando el origen de la estructura algebraica aparece también con algunas estructuras relacionales. Por ejemplo, los órdenes cíclicos totales son estructuras relacionales ternarias que se obtienen a partir de conjuntos totalmente ordenados olvidando la ordenación del conjunto ordenado pero recordando la noción de orientación. La ordenación lineal original se puede obtener a partir de la ordenación cíclica aplicando un corte Dedekind a la ordenación cíclica y este corte Dedekind juega el papel del origen o elemento de identidad en los ejemplos anteriores.

Answer 3

Tal vez quiera decir operaciones fundamentales en lugar de operaciones. Otros han señalado que la composición, la proyección y el cambio de punto de vista permiten manejar operaciones de mayor aridad.

Imagino que las operaciones fundamentales suelen ser de aridad tan baja porque preferimos la simplicidad. Hacer el máximo o la suma de una tupla de números se puede conseguir iterando la operación binaria correspondiente sobre ciertas partes de la tupla. Todo lo que sea más se vuelve incómodamente complicado.

Dicho esto, hay ejemplos como las funciones multilineales (especialmente el determinante) que aparecen en varios campos del análisis, por no hablar de las operaciones infinitas como la integración. Incluso así, nos gusta descomponer las cosas en iteraciones de términos más simples, o en composiciones de los mismos.

William DeMeo ha estado haciendo muchos posts en MathOverflow en re álgebra universal. Probablemente sugerirá la función mayoritaria sobre el conjunto {0,1}, las variedades que tienen un término discriminante ternario o de 4 posiciones, los grupos ternarios, y similares. También puede señalar lugares en la literatura donde se ha planteado su pregunta.

Gerhard "La memoria no es tan buena últimamente" Paseman, 2010.12.14

Answer 4

Habría pensado que sólo era una nota. Cuando la aridad es > 2, normalmente acabamos codificando los operandos en un vector o tensor o lo que sea. El determinante mencionado anteriormente es un ejemplo obvio de ello: una operación unaria sobre una matriz, o un tensor que actúa sobre n vectores, según se mire.

Answer 5

Permítanme señalar $n$ -operaciones de carácter secundario que aparecen en mi propia investigación.

Un álgebra $(X,*)$ se dice que es autodistributiva si $x*(y*z)=(x*y)*(x*z)$ para todos $x,y,z\in X$ . La noción de autodistributividad puede generalizarse a las identidades que implican operaciones de mayor aridad. Decimos que un $n+1$ -operación de los medios de comunicación $t:X^{n+1}\rightarrow X$ si es autodistributivo si $$t(x_{1},\ldots,x_{n},t(y_{1},\ldots,y_{n},y))$$ $$=t(t(x_{1},\ldots,x_{n},y_{1}),\ldots,t(x_{1},\ldots,x_{n},y_{n}),t(x_{1},\ldots,x_{n},y)$$ (voir aquí y aquí ).

La noción de mesa de Laver puede ampliarse a $n$ -Operaciones de carácter secundario. Se puede calcular el $n$ -mesas Laverary aquí y aquí .