¿Por qué hay tan pocas operaciones con aridad mayor que 2?

Question

En las estructuras algebraicas habituales, como los grupos, anillos, monoides, etc, o en las álgebras procedentes de la lógica como las álgebras booleanas, las álgebras de Heyting y similares las operaciones suelen ser de aridad 0 (constantes), 1 o 2. Mi pregunta es doble:

1. Proporcione ejemplos de álgebras que surjan de forma natural en algún campo (me interesan principalmente las álgebras procedentes de la lógica, pero estoy abierto a cualquier campo) con operaciones de aridad 3 o mayor.

2. ¿Hay alguna razón (más o menos profunda) para que haya tan pocas álgebras con operaciones de aridad mayor que 2?

Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí hay una que aprendí de Todd Trimble. Dando un conjunto $X$ la estructura de un espacio compacto de Hausdorff es lo mismo que equipar $X$ con $J$ -Operaciones de carácter secundario $X^J \to X$ para cada conjunto $J$ uno para cada ultrafiltro $P$ en $J$ correspondiente al $P$ -límite de un $J$ -tupla de elementos de $X$ con las relaciones de compatibilidad adecuadas.

Answer 2

1. Yo diría que gran parte de las "matemáticas de dimensión superior" se refieren a espacios con operaciones de aridad finita arbitraria. Estoy pensando en cosas como álgebras planas, operadas, ...

   Permítanme mencionar un área que me gusta, que son varias cosas que llamaría "asociativas", y en lugar de tratar de dar definiciones precisas mencionaré las álgebras planas. A álgebra plana incluye en los datos un $k$ -para todas las formas de dibujar curvas no intersecantes (que son cerradas o terminan en un límite) en un disco menos $k$ subdiscos. Estas operaciones son necesarias para componer de cualquier manera que se pueda pegar un disco-menos-agujeros en un agujero de otro disco (con el requisito de que cualquier curva que termine en los componentes del límite pegado coincida). También hay un asociatividad requisito que dice que todo depende sólo de la topología del diagrama, no de la geometría.

   De todos modos, es posible escribir cualquier "operación planar" como una composición de operaciones binarias (aunque se necesitan infinitas operaciones binarias "básicas"), pero esta es la forma incorrecta de pensar en ello, afirmo. En particular, no hay una opción canónica de cómo escribir algo como una composición de binarios.

2. Desde este punto de vista, revisemos ahora la multiplicación asociativa habitual. La asociatividad dice nada más y nada menos que: ab c = a bc . Dibujado de esta manera, está claro que se trata de nuevo de una afirmación de que "sólo importa la topología, no la geometría". Pero la cuestión es que la multiplicación habitual es "unidimensional", en el sentido de que el espacio ambicioso donde se ponen cosas como "a", "b", "c" es una línea. (Compárese con las álgebras planas, que son intrínsecamente bidimensionales). Se tardó en inventar las matemáticas bidimensionales, porque estamos acostumbrados a pensar en "funciones" que actúan consecutivamente en el "tiempo", y nuestra experiencia es que el "tiempo" es unidimensional. En cualquier caso, la cuestión es que si tus matemáticas son unidimensionales, entonces es mucho más fácil ver cómo dividir cualquier imagen unidimensional en subimágenes "básicas" con sólo dos cosas. Creo que ésta es la respuesta a tu pregunta 2, por la que la mayoría de las veces sólo pensamos en operaciones 2-arias.

Por último, mencionaré que hay otra dirección que puedes seguir, que es incluir el "álgebra de carbón" junto con tu álgebra. Por "álgebra" me refiero a una teoría con algo de " $k$ -operaciones de "arias" que toman en $k$ entradas y escupir una salida. Pero el "álgebra" tiene operaciones que tienen múltiples salidas. Las operaciones coalgebraicas son muy importantes, sobre todo en informática: no querrás un programa de ordenador que sólo haga un cuando lo ejecutabas, ¡porque entonces no podía decirte también que lo había hecho!

Answer 3

En un espacio afín $A$ El desplazamiento (diferencia) entre dos puntos es un vector, y se puede añadir un vector a un punto, pero no a dos puntos. Sin embargo, se pueden sustituir por una operación ternaria en términos de puntos solamente: la regla del paralelogramo $\nearrow : A \times A \times A \to A,\\,\nearrow(p, a, b) = p+(a-b)$ .

Incluso se puede añadir la multiplicación escalar de la diferencia.

¿Por qué quieres hacer esto? Bueno, los espacios afines son más primitivos que un espacio vectorial, pero utilizamos un espacio vectorial para definirlos. Para mí, el enfoque más natural es definirlos sin él, y ver cómo el espacio vectorial (de desplazamientos) desaparece.

Answer 4

Mentira y Jordania Sistema triple tienen aridad 3 . Un sistema triple de Jordan es un espacio vectorial con estructura adicional está dado por un triplete $$(x,y,z)\rightarrow \{x,y,z\}$$ que satisface las identidades $$\{u,v,w\} = \{u,w,v\}$$ y $$\{u,v,\{w,x,y\}\} = \{w,x,\{u,v,y\}\} + \{w, \{u,v,x\},y\} -\{\{v,u,w\},x,y\}.$$ Ver texto del enlace . Toda álgebra de Jorda puede incrustarse en un sistema triple de Jorda, pero lo contrario no es cierto. Cualquier sistema triple de Jordan es un sistema triple de Lie con respecto al producto $$[u,v,w] = \{u,v,w,\} − \{v,u,w\}. $$ La estructura de un sistema triple de Lie viene dada por un soporte que satisface las identidades $$ [u,v,w] = − [v,u,w], \qquad [u,v,w] + [w,u,v] + [v,w,u] = 0$$ y $$ [u,v,[w,x,y]] = [[u,v,w],x,y] + [w,[u,v,x],y] + [w,x,[u,v,y]]. $$

Answer 5

La ley de composición en un monoide suele representarse mediante una operación binaria (multiplicación) y una operación nula (unidad), pero yo la veo más naturalmente como una operación (digamos, un paréntesis) que toma cualquier lista finita de argumentos y es asociativa en el sentido de que los paréntesis pueden eliminarse en cualquier expresión, por ejemplo tenemos las identidades

[a,[],b,[[c,d],e],[f]]=[a,b,c,d,e,f]

y

[a]=a.

Entonces podemos definir una operación nula 1:=[] y una operación binaria a*b:=[a,b], y recuperar el paréntesis a partir de ellas, utilizando identidades como [a,b,c,d]=[a,[b,[c,d]]. Estas dos operaciones satisfacen los axiomas habituales de un monoide, y dos operaciones cualesquiera que las satisfagan pueden extenderse a un paréntesis asociativo finito.

Considero que la representación habitual mediante una operación binaria y otra ceroaria es un artefacto para poder producir pruebas de aspecto más sencillo de que las estructuras que encontramos son monoides.

Lo que quiero decir es que, naturalmente, las operaciones binarias tampoco son tan comunes. Tal vez un ejemplo sea el corchete de Lie.