¿Por qué hay tan pocas operaciones con aridad mayor que 2?

Question

En las estructuras algebraicas habituales, como los grupos, anillos, monoides, etc, o en las álgebras procedentes de la lógica como las álgebras booleanas, las álgebras de Heyting y similares las operaciones suelen ser de aridad 0 (constantes), 1 o 2. Mi pregunta es doble:

1. Proporcione ejemplos de álgebras que surjan de forma natural en algún campo (me interesan principalmente las álgebras procedentes de la lógica, pero estoy abierto a cualquier campo) con operaciones de aridad 3 o mayor.

2. ¿Hay alguna razón (más o menos profunda) para que haya tan pocas álgebras con operaciones de aridad mayor que 2?

Gracias de antemano.

Answer 1

$$\operatorname{average}(x_1,\dots,x_n) = \dfrac{x_1 + \cdots + x_n}{n}.$$

$$\operatorname{cross-ratio}(z_1,z_2;z_3,z_4) = \dfrac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)}.$$

Answer 2

Las operaciones de mayor aridad aparecen de forma bastante natural cuando la teoría de la homotopía entra en escena; por ejemplo, $A_\infty$ -algebras , $L_\infty$ -algebras y $E_\infty$ -algebras .

Answer 3

En primer lugar, una observación trivial: si tienes una operación binaria, automáticamente tienes operaciones de mayor aridad por anidamiento. Por lo tanto, no diría que hay menos álgebras de este tipo. Pero hay un sentido en el que eso es hacer trampa. Ejemplos de ello son algunos de los sistemas triples, digamos los sistemas triples de Lie, que son a los espacios simétricos lo que las álgebras de Lie son a los grupos de Lie: a saber, la mejor aproximación lineal.

A partir, al menos, de la década de 1940, el algebrista ruso AG Kurosh y su escuela trataron de generalizar muchas de las estructuras algebraicas con una operación binaria a un $n$ -operación de los medios de comunicación. Esto se explica en el documento/monografía Anillos y álgebras multioperadores a partir de 1969, así como en los trabajos de Baranovic y Burgin a partir de 1975 Lineal $\Omega$ -algebras . Tal vez el ejemplo más conocido de este tipo de estructura sean los $n$ -Las álgebras de Lie introducidas por VT Filippov en 1980.

Las álgebras de 3-Lie habían aparecido anteriormente en los trabajos de Nambu que intentaban generalizar la mecánica hamiltoniana sustituyendo la forma simpléctica por una 3 forma cerrada. Esta línea de trabajo fue continuada por Takhtajan y sus colaboradores.

En los últimos años, $n$ -arios de las álgebras de Leibniz (pero sobre todo $n=3$ ) han recibido mucha atención debido al inesperado papel que desempeñan en el AdS $_4$ /CFT $_3$ correspondencia para las membranas M2. Hace dos años di algunas conferencias sobre la historia algebraica subyacente en Nordita (Estocolmo) y los redactó . Puede que desee leerlos para ver las referencias.

Answer 4

Las operaciones de aridad 3 surgen naturalmente en el álgebra universal. Por ejemplo, una línea de investigación consiste en caracterizar las propiedades de la red de congruencias de una variedad mediante la existencia de términos especiales, que suelen tener aridad 3. Por ejemplo, si una variedad tiene una operación ternaria m(x, y, z) tal que m(x, y, y) = x y m(x, x, y) = y, entonces la red de congruencias es modular. (Lo contrario no es cierto, pero hay una afirmación más débil que implica operaciones ternarias que es verdadera). Ejemplos de esto son los grupos ( $m(x, y, z) = x y^{-1} z$ ) y los espacios vectoriales ( $m(x, y, z) = x - y + z$ ).

La operación ternaria para espacios vectoriales tiene una interpretación geométrica natural como adición de vectores en un espacio afín, donde no se requiere que los vectores estén basados en el origen. Si se dibuja un vector de y a x y un vector de y a z, entonces $m(x, y, z)$ es el vector que va de y a x + z. Se puede pensar que la suma se define dibujando un paralelogramo $xyzw$ . Entonces $m(x,y,z)=w$ .

Answer 5

Aquí hay una que aprendí de Todd Trimble. Dando un conjunto $X$ la estructura de un espacio compacto de Hausdorff es lo mismo que equipar $X$ con $J$ -Operaciones de carácter secundario $X^J \to X$ para cada conjunto $J$ uno para cada ultrafiltro $P$ en $J$ correspondiente al $P$ -límite de un $J$ -tupla de elementos de $X$ con las relaciones de compatibilidad adecuadas.