Convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}\bigg((2\lambda)^{3n}\ \ln\big(\cos(n^{\lambda})\big)\bigg)$ , para $\lambda\leqslant0, \lambda\in\mathbb{R}$

Question

Estudiar la convergencia de la siguiente serie para $\lambda\leqslant0, \lambda\in\mathbb{R}$

$$\sum_{n=1}^{\infty}\bigg((2\lambda)^{3n}\ \ln\big(\!\cos(n^{\lambda})\big)\bigg)$$

Observé que si $-\frac{1}{2}\lt\lambda\lt0$ entonces $(2\lambda)^{3n}$ es la serie geométrica con relación $-1\lt r \lt0$ que converge, mientras que para $\lambda\lt -\frac{1}{2}$ tenemos $r\lt-1$ que diverge. En particular, cuando $\lambda\lt -\frac{1}{2}$ El $(2\lambda)^{3n}$ es una serie oscilante.

No estoy seguro de cómo manejar $b_n=\ln\big(\!\cos(n^{\lambda})\big)$ que tienden a $0$ para $n\mapsto\infty$ . Dando $k=-\lambda\gt0$ ¿Puedo decir que $b_n= O\bigg(\frac{1}{n^k}\bigg)$ para $n \mapsto \infty$ ? ¿O me equivoco al haber perdido demasiada información?

Answer 1

No estoy seguro de cómo manejar $b_n=\ln\left(\cos(n^{\lambda})\right)$ que tiende a $0$ para $n\to\infty$ . Dando $k=-\lambda\gt0$ ¿Puedo decir que $b_n= O\bigg(\frac{1}{n^k}\bigg)$ para $n \to \infty$ ?

Prefieres tener $\displaystyle b_n= O\bigg(\frac{1}{n^{2k}}\bigg)$ . Se pueden utilizar las expansiones en serie de Taylor para ver esto, notando que, como $n \to \infty$ , $$ \cos \left(\frac1{n^k} \right)=1-\frac1{2n^{2k}}+o\bigg(\frac{1}{n^{2k}}\bigg) $$$$ \ln \left(\cos \left(\frac1{n^k} \right)\right)=\ln\left(1-\frac1{2n^{2k}}+o\bigg(\frac{1}{n^{2k}}\bigg)\right)=-\frac1{2n^{2k}}+o\bigg(\frac{1}{n^{2k}}\bigg)=O\bigg(\frac{1}{n^{2k}}\bigg). $$

Answer 2

Solución . $\blacktriangleleft$ En primer lugar, determine el radio de convergencia para $$ \sum y^n \log(\cos (n^\lambda)). $$ Por Cauchy-Hadamard fórmula, tenemos que calcular lo siguiente: \begin{align*} \left| \log (\cos (n^\lambda)) \right|^{1/n} &= \exp \left( \frac 1n \log (- \log (\cos (n^\lambda)))\right) \\ &= \exp \left( \frac 1n \log (-\log (1 - n^{2\lambda}/2 + o(n^{2\lambda})))\right)\\ &= \exp \left( \frac 1n \log (n^{2\lambda} + o(n^{2\lambda}))\right). \end{align*} Para un tamaño suficientemente grande $n$ podemos suponer que $$ \frac 12 n ^{2\lambda} \leqslant n^{2\lambda} + o(n^{2\lambda}) \leqslant \frac 32 n^{2\lambda}. $$ Desde \begin{align*} \lim_{x\to +\infty} \frac {\log (x^{2\lambda})} x &= \lim_{x \to+ \infty } \frac {2\lambda x^{2\lambda -1}/x^{2\lambda}} 1 [\mathsf{ L'hopital\ rules}] \\ &= \lim_{x\to +\infty } \frac {2\lambda} x \\ &= 0, \end{align*} deducimos que $$ \lim_n \left| \log (\cos (n^\lambda)) \right|^{1/n} = 1. $$ Por tanto, la serie de potencias converge cuando $|y| <1$ diverge cuando $|y|>1$ .

Ahora volvamos a la pregunta original. Usando el radio convergente, sabemos que la serie converge cuando $|8\lambda^3| < 1$ es decir $\boldsymbol \lambda \in (-\mathbf 1/\mathbf 2, \mathbf 0]$ ; diverge cuando $\boldsymbol \lambda < \mathbf{-1/2}$ . Cuando $\lambda = {-1/2}$ la serie se convierte en $$ \sum (-1)^n \log (\cos(n^{-1/2})) =\colon \sum (-1)^{n-1} a_n $$ que es una serie de Leibniz: $$ \frac 1{\sqrt n} > \frac 1{\sqrt {n+1}} \implies a_n > a_{n+1} \searrow 0, $$ de ahí que converge .

Conclusión La serie diverge cuando $\boldsymbol \lambda < -\mathbf{1/2}$ , converge cuando $\boldsymbol \lambda \in [\mathbf{-1/2}, \mathbf 0]$ . $\blacktriangleright$