Dado un espacio normado $E$ con un subespacio $M$ se sabe que la topología débil en $M$ es la misma que la topología inducida de la topología débil sobre $E$ . ¿Por qué es así? A partir del teorema de Hahn-Banach, podemos extender las funciones lineales sobre $M$ a $E$ . Así que mi intuición es que cualquier elemento de la topología débil sobre $M$ está en la topología inducida de la topología débil sobre $E$ . Pero, ¿por qué también se puede hacer lo contrario? No tengo muy claro cómo trabajar con un funcional lineal en $E$ que no puede obtenerse extendiendo un funcional lineal sobre $M$ .
Respuesta
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La forma más fácil es trabajar con redes. Una red $\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ converge en la topología débil a $x$ si y sólo si $f(x_{\lambda})\to f(x)$ para toda función lineal acotada $f$ .
Ahora supongamos que tenemos una red $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\subseteq M$ que converge a $x\in M$ en la topología débil en $M$ . Esto significa que $f(x_{\lambda})\to f(x)$ por cada $f\in M^*$ . Queremos demostrar que $x_{\lambda}\to x$ también en la topología inducida de $E$ . Así que dejemos $f\in E^*$ . Entonces $g:=f|_M\in M^*$ y por lo tanto $f(x_{\lambda})=g(x_{\lambda})\to g(x)=f(x)$ .
Por el contrario, supongamos que $(x_{\lambda})\subseteq M$ es una red que converge a $x\in M$ en la topología inducida de $E$ . Esto significa que tenemos $f(x_{\lambda})\to f(x)$ por cada $f\in E^*$ . Queremos mostrar $x_{\lambda}\to x$ en la topología débil en $M$ . Así que dejemos $f\in M^*$ . Por Hahn-Banach podemos extenderlo a un funcional acotado $F\in E^*$ . Entonces, por nuestra suposición $f(x_{\lambda})=F(x_{\lambda})\to F(x)=f(x)$ .
