Sean X e Y independientes e idénticamente distribuidos. Demuestre que $X - Y$ no está distribuida uniformemente en (a,b) para algún $a<b$ .
Dejemos que $Z = X - Y$ . Sé que para que $Z$ para que se distribuya uniformemente en algún intervalo $(a,b)$ será cuando $a = -b$ . Y como X e Y están idénticamente distribuidos, entonces tendrán la misma función característica.
No sé realmente cómo seguir utilizando las funciones características. ¡Agradecería cualquier pista! Gracias.
La función característica de la distribución uniforme en $(-a,a)$ es $\frac 1 {2a}\int_{-a}^{a} e^{itx} dx=\frac {\sin (at)} {at}$ . Tenga en cuenta que esta función toma tanto valores positivos como negativos. Sin embargo, $Ee^{it(X-Y)}=|Ee^{itX}|^{2} \geq 0$ . Por lo tanto, $X-Y$ no puede estar distribuido uniformemente . (He utilizado su observación el intervalo en el que tenemos la distribución uniforme tiene que ser simétrico).
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