Duda por sustitución en dos variables límite

Question

Tengo un ejercicio así en mi libro
$\lim_{(x,y)\to (0,1)}f(x,y)=\frac {(y^2-1)(9x^2+2)\log\left(1+x^5\right)}{x^4+(y-1)^6}$ entonces dice sin otras explicaciones:
para $(x,y)\to(0,1)$ tienes $\left\vert f(x,y)\right\vert \le 5\left\vert\frac{(y-1)x^5}{x^4}\right\vert=5\left\vert(y-1)x\right\vert \to 0$

Puede que me avergüence, pero realmente no veo cómo ${\left(y^2-1\right)\left(9x^2+2\right)}$ se convierte en que $5\vert(y-1)\vert$
Gracias como siempre.

Answer 1

Al estimar el valor absoluto de una fracción, no es necesario limitarse a las igualdades algebraicas, sino que también se puede hacer mayor el (valor absoluto del) numerador y menor el denominador. Si $x \neq 0$ por ejemplo, \begin{align*} \left\lvert\frac{(y^{2} - 1) (9x^{2}+ 2) \log(1 + x^{5})}{x^{4} + (y - 1)^{6}}\right\rvert &\leq \left\lvert\frac{(y^{2} - 1) (9x^{2}+ 2) \log(1 + x^{5})}{x^{4}}\right\rvert && \text{shrink denominator} \\ &= \left\lvert\frac{(y - 1)(y + 1) (9x^{2}+ 2) \log(1 + x^{5})}{x^{4}}\right\rvert && \text{difference of squares} \\ &\leq \left\lvert\frac{4.5(y - 1) \log(1 + x^{5})}{x^{4}}\right\rvert && \begin{gathered}y + 1 \approx 2,\\ 9x^{2} + 2 \approx 2\end{gathered} \\ &\leq \left\lvert\frac{5(y - 1) x^{5}}{x^{4}\right\rvert && \frac{log(1 + x^{5})}{x^{5}} |approx 1. \fin{align*} En los dos últimos pasos es donde se produce la mayor parte del trabajo. Gracias a la definición formal de límite, el lado izquierdo de cada aproximación no supera un número ligeramente mayor que el lado derecho, siempre que $(x, y)$ está lo suficientemente cerca de $(0, 1)$ . La constante $4.5$ es sólo un número conveniente mayor que $2 \times 2 = 4$ y la relación $5/4.5$ en la última desigualdad es un número conveniente mayor que $1$ .

(Si $x = 0$ la fracción es $0$ para todos $y \neq 1$ , por lo que no hay nada que probar).