Toda curva suave es solución de una ecuación diferencial

Question

Dejemos que $\gamma:\Bbb{R}\rightarrow \Bbb{R}^n$ ser un $C^1$ -función con $\gamma(t)\neq 0\ \forall t\in \Bbb{R}$ . Entonces quiero demostrar que existe una función continua $f:\Bbb{R}\rightarrow \text{End}(\Bbb{R}^n)$ tal que $\dot{\gamma}(t)=f(t)\gamma(t).$

Para $n=1$ uno puede simplemente elegir $f(t):=\frac{\dot{\gamma}(t)}{\gamma(t)}$ . Pero, ¿qué puedo hacer en dimensiones superiores? He intentado aplicar el teorema de la función implícita pero para aplicarlo se necesita que $A(x,t):=\dot{\gamma}(t)-x\gamma(t)$ es $C^1$ , pero nuestra hipótesis sólo da como resultado que esta función es continua.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Observe que puede reformular el problema como

funciones continuas dadas $\def\RR{\mathbb R}\alpha$ , $\beta:\RR\to\RR^n$ con $\beta$ en ninguna parte cero, existe una continua $A:\RR\to End(\RR^n)$ tal que $\alpha(t)=A(t)(\beta(t))$ para todos $t\in\RR$ ,

ya que entonces puede tomar $\alpha=\gamma'$ y $\beta=\gamma$ . ¡Esto demuestra que el problema no es realmente sobre ODEs!

Para resolver esta parte del problema, podemos tomar $\displaystyle A(t)(v)=\frac{\langle v,\beta(t)\rangle}{\langle\beta(t),\beta(t)\rangle}\alpha(t)$ .