Desigualdad de AM GM QM combinada

Question

Encontré esta interesante la desigualdad y fue en busca de pruebas interesantes. $x,y,z \geq 0$

$$ 2\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}}+3\sqrt [3]{xyz}\leq 5\left(\frac{x+y+z}{3}\right) $$

Apéndice.

En general, cuando es

$$ a\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}}+b\sqrt [3]{xyz}\leq (a+b)\left(\frac{x+y+z}{3}\right) $$

¿cierto?

Answer 1

Esto no es una respuesta directa a la pregunta, pero probablemente es demasiado largo para un comentario, así que estoy dejando como respuesta. (En los comentarios parece que el OP no estaba familiarizado con la técnica de la mezcla de variables/suavizado, que fue utilizado por Honey_S en el enlace proporcionado para resolver el problema; o el (n-1)-EV teorema, por lo que esta respuesta sería una rápida exposición de lo que son.)

La mezcla de variables/suavizado:

En desigualdades como $f(a,b,c) \ge 0$, buscamos demostrar una desigualdad del tipo $f(a,b,c) \ge f(t,t,c)$. Esperamos repetir este desigualdad, de manera que podemos concluir que el mínimo se obtiene cuando muchas de las variables son iguales.

Ejemplo 1: (AM-GM de la desigualdad)

Queremos mostrar que si $a,b,c > 0$,$a+b+c \ge 3(abc)^{1/3}$.

Prueba. Considere la posibilidad de

$f(a,b,c) = a + b + c - 3(abc)^{1/3}$

Ahora por 2 variable-AM-GM, vemos que $f(a,b,c) \ge f(\sqrt{ab}, \sqrt{ab}, c)$. Usted puede entonces imaginar que, si seguimos haciendo ese tipo de suavizado - es decir, la próxima vez reemplace $(\sqrt{ab}, c)$ 2-tupla de su media geométrica por ejemplo, entonces en un tiempo infinito de llegar el caso en que las tres variables son iguales, y que $f(a,b,c)$ alcanza su valor mínimo cuando $a=b=c$, que es 0.

En general hay muchas opciones de $t$. Si hay una condición inicial en $a+b+c$, es posible que desee cambiar $(a,b)$ $\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2} \right)$o, a veces, $(0,a+b)$ si supongo que la igualdad caso de la desigualdad implica 0. Si hay una condición inicial en $a^2+b^2+c^2$, usted puede cambiar de $(a,b)$ $\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}, \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)$etc.

En el AM-GM ejemplo, que la vida es agradable porque $f(a,b,c) \ge f(t,t,c)$ mantiene incondicionalmente. Muy a menudo, este no es el caso. Por ejemplo, en Honey_S solución en el enlace, después de asumir $abc=1$ por homogeinidad él demostró que

$f(a,b,c) \ge f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)$

para

$ f\left({a,b,c}\right) = 5\left({a+b+c}\right)-2\sqrt{3\left({a^{2}+b^{2}+c^{2}}\right)} $

sólo al $c = \max (a,b,c)$. Sin embargo, en este caso, estamos a la izquierda para mostrar que $f(t,t,c) \ge 0$ bajo la condición de $t^2c = 1$. Esta es una variable de desigualdad fácilmente manejado por cálculo.

Si quieres ver más ejemplos de suavizado en acción, verificación de este hilo y los cuatro enlaces en ese post, este y este , por ejemplo.

(n-1)-EV teorema:

Este es un teorema que mata a muchas olimpiada de las desigualdades. Usted puede ver Vasile Cirtoaje del artículo original aquí. Básicamente lo que hace es que después de un tedioso cálculo de cheques, muchas desigualdades alcanzar realmente su extremo cuando (n-1) de las n variables que intervienen en la desigualdad son iguales.(Y podemos usar el cálculo para verificar el resto de los casos) retirar teorema 3 y sus corolarios en el enlace.

Si quieres ver sus aplicaciones, consulte la sección "Aplicaciones" de Vasco de papel, y si quieres mas, ven aquí , o tal vez un reciente post en este foro. Espero que esto sería suficiente para que usted ahora :)