Paréntesis de Poisson entre las derivadas en las restricciones de la formulación hamiltoniana de la relatividad general

Question

El problema que tengo es de la formulación hamiltoniana de la Relatividad General (RG) y tiene que ver con el cálculo de ciertos paréntesis de Poisson. En esta formulación, tenemos la métrica tridimensional $h_{ij}(x)$ como variable de configuración, y $p^{ij}(x)$ como su momento conjugado, construyendo un espacio de fase de GR. Satisfacen los siguientes corchetes de Poisson de tiempo igual:

$$ \left\lbrace h_{ij}(x),p^{ab}(y)\right\rbrace=\delta_{i}^{(a}\delta_{j}^{b)}\delta^{(3)}(x-y) $$

donde $\delta^{(3)}(x-y)$ es una función delta de Dirac en 3D, y "( )" es la simetrización de los índices. Estoy tratando de calcular los corchetes de Poisson entre el Hamiltoniano y las restricciones de momento, pero no puedo obtener el resultado. En todos los textos que he encontrado sobre este tema, no hay pasos intermedios que lleven al resultado que indican. En particular, no estoy seguro de cómo tratar las derivadas en los corchetes de Poisson, especialmente si hay derivadas covariantes involucradas. También lo que me incomoda es que parece que aparecen algunas derivadas de la función delta, que no entiendo? En concreto, estos tres paréntesis de Poisson me preocupan:

$$ \left\lbrace D_{i}{p^{i}}_{j}(x),D_{a}{p^{a}}_{b}(y)\right\rbrace $$

$$ \left\lbrace h_{ij}(x),D_{a}{p^{a}}_{b}(y)\right\rbrace $$

$$ \left\lbrace p^{ij}(x),D_{a}{p^{a}}_{b}(y)\right\rbrace $$

donde $D_{i}$ es una derivada covariante con respecto a $h_{ij}$ . ¿Cómo es que el primero no es cero? ¿Cómo se trata el PB entre las derivadas de las variables del espacio de fase?

Answer 1

Normalmente se obtienen derivadas de funciones delta. Me gusta escribir $D^y_a$ para recordar que la derivada es con respecto a $y$ . Así que $\{g_{ab}(x),D^y_e\pi^{cd}(y)\} =D^y_e\{g_{ab}(x),\pi^{cd}(y)\}=D^y\delta(x,y)\delta^{(c}_a\delta^{d)}_b$ .

La integral de una función por una derivada de una función delta se evalúa utilizando la integración por partes para desplazar la derivada de la función delta.

Para calcular los otros paréntesis de Poisson, sólo recuerda incluir la métrica si has bajado un índice en $\pi^{ab}$ .