Energía de Dirichlet y transformada de Fourier

Question

¿Existe una relación directa entre la energía de Dirichlet de una función:

$$E(f)=\int_{\Omega}\lvert\nabla f(\mathbf{x})\rvert^2\mathrm{d}V$$

y su transformada de Fourier

$$\hat{f}(\mathbf{k})=\int_{\Omega}f(\mathbf{x})e^{-2\pi i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\mathrm{d}V$$

Dado que la energía de Dirichlet mide la variabilidad de una función en alguna región, y la transformada de Fourier mide la amplitud de sus frecuencias, creo que alguna expresión que implique la transformada de Fourier a altas frecuencias debería dar la energía de Dirichlet.

¿Es posible conectar estas dos expresiones? Si es así, ¿cómo?

Creo que las relaciones funcionales de la transformada de Fourier enumeradas aquí puede ser relevante.

Answer 1

Efectivamente, existe una conexión, y es muy útil. A saber, la Identidad de Parseval afirma que el $L^2$ energía (norma cuadrada) de $f$ es el mismo que el de $\hat f$ : $$ \int|f(x)|^2=\int|\hat f(k)|^2. $$

Si quiere estudiar el $L^2$ norma del gradiente en su lugar, utilizando $\widehat{\nabla f}(k)=2\pi ik\hat f(k)$ con la identidad de Parseval te dice que $$ \int|\nabla f(x)|^2=(2\pi)^2\int|k|^2|\hat f(k)|^2 $$ y $$ \int|\nabla\hat f(k)|^2=(2\pi)^2\int|x|^2|f(x)|^2. $$ La energía Dirichlet de $f$ se puede calcular a partir de $\hat f$ de esta manera explícita, y depende más de $\hat f$ para las frecuencias altas que para las bajas.

Esto tiene un sentido intuitivo: La energía de Dirichlet no ve la "masa total" de la función sino su "oscilación total" en algún sentido, y la cantidad de oscilación corresponde al tamaño de la variable de Fourier $k$ . Las frecuencias altas contribuyen más a la energía.

Si utiliza diferentes convenciones para la transformada de Fourier, puede tener diferentes constantes multiplicativas en las identidades.