Se me da que $A$ es un $12\times 15$ y la ecuación $Ax = b$ tiene una solución para cada $b \epsilon \mathbb{R}^{12}$ . ¿Cuáles son las dimensiones del dominio, el rango y el núcleo de $A$
Sé que $Ax = b$ mapea los vectores de $\mathbb{R}^{15}$ a $\mathbb{R}^{12}$ . ¿Esto me da algo?
En segundo lugar, ¿sé si el conjunto de vectores columna en $A$ es linealmente independiente y ¿esto me lleva a alguna parte?
Recordemos el teorema de nulidad de rango que nos dice que $n=\dim\ker+\dim\text{im}$ si $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ . Por lo tanto, basta con encontrar dos de las tres que se le piden. Ahora, dime, el hecho de que $Ax=b$ tiene una solución nos dice que nuestro mapa es sobreyectivo - alcanza todas las $\mathbb{R}^{12}$ --¿Cuál es su dimensión? El dominio es $\mathbb{R}^{15}$ ¿Qué es esta dimensión?
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