cómo reescribir $\Gamma(x+r)$ en términos de $\Gamma(x)$

Question

Estoy buscando si hay una transformación de la función gamma aplicada a $x+r$ $\Gamma(x+r)$ en términos de $\Gamma(x)$ , donde $r$ es un número real positivo.

Answer 1

Existe la conocida fórmula de recurrencia cuando $r=1$ $$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x),$$ que se puede ampliar a $\Gamma(x+n)$ .

Para los números no enteros $r$ no hay una relación simple. Sólo hay que fijarse en la fórmula de duplicación

$$\Gamma(x+\frac12)=2^{1-2x}\sqrt\pi\frac{\Gamma(2x)}{\Gamma(x)}.$$

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Se puede obtener una aproximación bastante buena de $\ln(\Gamma(n+r))$ donde $\lfloor r\rfloor=0$ interpolando linealmente entre $\ln(\Gamma(n+m))$ y $\ln(\Gamma(n+1+m))=\ln(n+m)+\ln(\Gamma(n+m))$ para algún número entero $m$ y deduciendo $\ln(n+r+m-1)+\ln(n+r+m-2)+\cdots+\ln(n+r).$