8.1 en el texto introductorio de Kristopher Tapp en los grupos de matriz la pregunta mostrar que $SO(n)$ es no abeliano ($n>2$) encontrar dos elementos de $so(n)$ que no conmuten.
¿Por qué este método es válido?
Por lo menos en el texto, sólo demuestra que $[A,B]=0$ $e^A e^B = e^{A+B} = e^B e^A$ de implica, pero no menciona si lo contrario es cierto. Siendo esta última verdad es la única manera podía racionalizar su declaración.
¡ Gracias!
Supongamos que $G$ es un Grupo abeliano de matriz. Se muestra que el $\mathfrak{g}$ es abeliano; es decir, $[X, Y] = 0$, para todos los $X, Y \in \mathfrak{g}$.
Para cualquier $g \in G$, definir $\mathrm{C}_g \colon G \to G$ $h \mapsto ghg^{-1}$. Entonces, se define $\mathrm{Ad}_g\, \colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$ $\mathrm{D} \left( \mathrm{C}_g \right)_\mathrm{I}$. $G$ Abeliano, $\mathrm{C}_g$ es el mapa de la identidad y por lo tanto $\mathrm{Ad}_g = \mathrm{Id}$. Ahora, $\mathrm{exp}(tX)$ es un camino en principio de $G$ $\mathrm{I}$ $X$ de la velocidad inicial. Por lo tanto, por definición,\begin{equation} [X, Y] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \bigg|_{t=0} \mathrm{Ad}_{\mathrm{exp} \left( tX \right)} Y = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \bigg|_{t=0} Y = 0. \end{equation}
Supongamos $G$ es abelian. A continuación, $\mathfrak{g}$ es trivialmente abelian (usted puede expresar $[A,B]$ para los elementos de la Mentira de álgebra en términos de los conmutadores de los elementos del grupo). Por lo tanto, el contrapositivo se tiene: $\mathfrak{g}$ no abelian implica $G$ no es abelian.
Como digo en el comentario, me refería era conceptualmente trivial de que el local $\mathfrak{g}$ hereda el mundial de abelian de la propiedad.
Desde la gente, obviamente, pensaba que esto era digno de ortografía, esta es la forma en que he visto a este hecho, tomando la definición de la matriz de los conmutadores de matriz Mentira grupo: $$ g(t) = \exp(Xt),\;h(t) = \exp(Yt) \\ \text{Abelian}\implica \boxed{I = g h g^{-1} h^{-1} = I + [X,Y]t^2 + O(t^3)} $$ y, por tanto,$[X,Y]=0$.
La Mentira de álgebra estructura en $\def\lie#1{\mathfrak{#1}}\lie{g}$ está definido por el siguiente procedimiento en dos pasos:
Para una Mentira grupo $G$, cada elemento de a $g \in G$ hechos por la conjugación en $G$, $\def\on{\operatorname}\on{Ad}_g \colon h \mapsto ghg^{-1}$. Este mapa $G \to G$ tiene un diferencial mapa en el espacio de la tangente a la identidad, $d\on{Ad}_g \colon TG_1 \to TG_1$. Por definición, $\lie{g} = TG_1$ y típicamente $d\on{Ad}_g$ escrito $\on{Ad}_g$, llama la adjoint acción de $g$$\lie{g}$.
El adjunto de la acción es una Mentira grupo de acción de $G$$\lie{g}$; principalmente, el agregado de mapa de $\on{Ad} \colon G \times \lie{g} \to \lie{g}$ es suave. Es, también, ha un diferencial de $d\on{Ad} \colon T(G \times \lie{g})_{(1,0)} \to T\lie{g}_0$. Por los principios generales de la topología diferencial, tenemos $$T(G \times \mentira{g})_{(1,0)} \cong TG_1 \times T\mentira{g}_0 \cong \mentira{g} \times \mentira{g}$$ donde hemos utilizado el hecho de que $\lie{g}$ es un espacio vectorial y por lo tanto isomorfo a su propio espacio de la tangente en cualquier punto. Por lo tanto, $d\on{Ad}$ es algún tipo de bivariante mapa de $\lie{g}$ a sí misma; de hecho, es la Mentira de soporte.
Se desprende de la definición anterior que si $\on{Ad}_g \colon G \to G$ es la función constante $1$ todos los $g \in G$, en última instancia, la Mentira de soporte es cero. El primero es el caso cuando $G$ es abelian. Tomando el contrapositivo, si $\lie{g}$ es nonabelian, a continuación, $G$ es necesariamente así.
Si $A,B$ no Conmute luego $e^Ae^B = e^{A+B+ \frac{1}{2}[A,B]+ \cdots }$ y los términos superiores son conmutadores anidados. Se trata de la relación de Baker Campbell Hausdorff. Desde Grupo de elementos de la mentira a la identidad puede ser escrita como exponentes de la álgebra esto demuestra la noncommutativity. Intuitivamente, los términos de orden superiores son mucho más pequeños para los elementos cerca de la identidad. Esto es sólo un bosquejo. Probablemente es un argumento inteligente que evita la identidad BCH.
Necesita conectividad.
Recoger cualquier elemento $g\in G$ y cualquier elemento $X\in\mathfrak{g}$. Considerar desde $\exp(tX)\in G$, que $G$ les abelianess de $g\exp(tX)g^{-1}=\exp(tX)$. Así, si diferenciamos lo que, por casualidad, $\text{Ad}(g)X=X$.
Ahora, tomar $X$ y $Y$ $\mathfrak{g}$. Aplicar el argumento anterior con $g=\exp(tX)$ para ver que $\text{Ad}(\exp(tX))Y=Y$. Diferenciar para obtener el resultado deseado.
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