Valor de $a$ tal que la ecuación tiene raíces integrales

Question

Si $(a+b+c)x^2+2(a-b)x +a+b-8=0$ tiene raíces integrales y $a,b,c \in R^+ ,c>b-3a>0$ entonces el valor de $a$ es ----

Soy consciente de que una condición para las raíces integrales es que el discriminante debe ser un cuadrado perfecto pero no he podido deducir nada de ello.Alguna idea Gracias.

Answer 1

Reescribir como $$\tag1 x^2+px+q = 0$$ con $$ p=\frac{2(a-b)}{a+b+c},\qquad q=\frac{a+b-8}{a+b+c}.$$ Como $p$ es la suma negativa y $q$ es el producto de las raíces (Vieta), ambas deben ser enteras.

A partir de la desigualdad dada, $$-p=\frac{(a+b)+(b-3a)}{a+b+c}\begin{cases}<\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\\ >\frac{a+b}{a+b+c}>0 \end{cases}.$$ Pero no existe tal número entero.