Transformada inversa de Laplace de $\dfrac{6s -19}{s^2 - 6s + 13}$.

Question

Estoy tratando de averiguar la transformada inversa de Laplace de $\dfrac{6s -19}{s^2 - 6s + 13}$. Mirando mi tabla de Transformadas de Laplace en mi libro de texto, parece que debo descomponer esta fracción en términos lineales usando fracciones parciales o necesito usar algún truco que me estoy perdiendo. Sé que el denominador no se puede descomponer más en términos lineales, ya que si intento resolver $s^2 - 6s + 13$ obtengo raíces complejas, así que no estoy seguro de qué hacer. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Pista. Uno puede recordar que

$$ \begin{align} &\mathcal{L}^{-1}\left(\frac {s-a}{ \left( s-a \right) ^{2}+{b}^{2}}\right)=e^{at}\cos(bt)\\\\ &\mathcal{L}^{-1}\left(\frac {b}{ \left( s-a \right) ^{2}+{b}^{2}}\right)=e^{at}\sin(bt). \end{align} $$ Entonces uno puede escribir $$ \frac{6s -19}{s^2 - 6s + 13}=6\frac {(s-3)}{ \left( s-3 \right) ^{2}+{2}^{2}}-\frac12\frac {2}{ \left( s-3 \right) ^{2}+{2}^{2}} $$ observando que $$ \mathcal{L}^{-1}(\alpha f+\beta g)=\alpha \mathcal{L}^{-1}( f)+\beta \mathcal{L}^{-1}(g). $$

Answer 2

Dado:

$$Y(s)=\frac{6s-19}{s^2-6s+13}$$

ENFOQUE #1:

Completando el cuadrado del denominador obtenemos $$Y(s)=\frac{6s-19}{(s-3)^2+4}=\frac{6s}{(s-3)^2+4}-\frac{19}{(s-3)^2+4}$$ Manipulación algebraica de cada término nos da una ecuación equivalente en una forma más apropiada (las razones detrás de este paso se harán evidentes pronto) $$Y(s)=6\frac{s-3+3}{(s-3)^2+4}-\frac{19}{(s-3)^2+4}=6\frac{s-3}{(s-3)^2+4}-\frac{1}{(s-3)^2+4}$$ o $$Y(s)=6\frac{s-3}{(s-3)^2+4}-\frac{1}{2}\frac{2}{(s-3)^2+2^2}$$

De las tablas de transformadas, usamos los pares:

• $e^{at}cos(bt)\leftrightarrow \frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}$
• $e^{at}sin(bt)\leftrightarrow \frac{b}{(s-a)^2+b^2}$

Identificando: $a=3$ y $b=2$, obtenemos

$$ y(t) = \mathcal{L^{-1}} \left \{ Y(s) \right \} = 6e^{3t}cos(2t)-\frac{1}{2}e^{3t}sin(2t)$$

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ENFOQUE #2:

Invocando la idea de descomposición en fracciones parciales, escribimos $$\frac{6s-19}{s^2-6s+13}=\frac{A}{s-3-2i}+\frac{B}{s-3+2i}$$ o después de multiplicar por $s^2-6s+13$ $$(s-3+2i)A+(s-3-2i)B=6s-19$$

• Si $s=3-2i$: $$0+(3-2i-3-2i)B=6(3-2i)-19\Rightarrow B=3-\frac{1}{4}i$$

• Si $s=3+2i$: $$(3+2i-3+2i)A+0=6(3+2i)-19\Rightarrow A=3+\frac{1}{4}i$$

Por lo tanto $$Y(s)=\frac{3+\frac{1}{4}i}{s-3-2i}+\frac{3-\frac{1}{4}i}{s-3+2i}$$

De las tablas de transformadas, usamos el par:

• $\alpha e^{(a+jb)t}\leftrightarrow \frac{\alpha}{s-(a+jb)}$

para invertir los términos.

Identificando: $a=3$ y $b=2$, obtenemos

$$ y(t) = \mathcal{L^{-1}} \left \{ Y(s) \right \} = (3+\frac{1}{4}i)e^{\left (3+2i \right )t}+(3-\frac{1}{4}i)e^{\left (3-2i \right )t}$$

Para mostrar que esto es equivalente al encontrado anteriormente, usamos un poco de álgebra compleja: \begin{align} y(t) &= (3+\frac{1}{4}i)e^{\left (3+2i \right )t}+(3-\frac{1}{4}i)e^{\left (3-2i \right )t} \\ & = e^{3t}\left [ (3+\frac{1}{4}i)e^{2it}+(3-\frac{1}{4}i)e^{-2it} \right ] \\ & = e^{3t}\left [ 3(e^{2it}+e^{-2it})+\frac{1}{4}i(e^{2it}-e^{-2it})\right ]\\ & = e^{3t}\left [ 3(2cos(2t))+\frac{1}{4}i(2isin(2t))\right ] \\ & = e^{3t}\left [ 6cost(2t)-\frac{1}{2}sin(2t)\right ] \\ & = 6\;e^{3t}cost(2t)-\frac{1}{2}\;e^{3t}sin(2t) \end{align}