Para simplificar, permítanme elegir un caso particular de la Segunda Incompletitud de Gödel Teorema de Gödel:
ZFC (Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel más el Axioma de Elección, el fundamento habitual de las matemáticas) no demuestra Con(ZFC), donde Con(ZFC) es una fórmula que expresa que ZFC es consistente.
(En este caso, ZFC puede ser sustituido por cualquier otro conjunto de axiomas suficientemente bueno y fuerte, pero este no es el tema aquí).
Este teorema ha sido interpretado por muchos como que "nunca podemos saber si las matemáticas son consistentes" y ha animado a mucha gente a intentar demostrar que ZFC (o incluso PA) es de hecho inconsistente. Creo que una opinión mayoritaria en matemáticas (al menos entre los matemáticos que piensan en fundamentos) es que creemos que no hay ningún problema con ZFC, simplemente no podemos demostrar su consistencia.
Un comentario que surge de vez en cuando (también en mathoverflow), con el que suelo estar de acuerdo, es el siguiente:
(*) "¿Qué ganamos si pudiéramos demostrar la consistencia de (digamos ZFC) dentro de ZFC? Si ZFC fuera inconsistente, demostraría su consistencia igualmente".
En otras palabras, no tiene sentido demostrar la consistencia de las matemáticas mediante una demostración matemática, ya que si las matemáticas fueran defectuosas, demostrarían cualquier cosa, por ejemplo su propia no-falsedad. Por lo tanto, una prueba de este tipo no mejoraría nuestra confianza en las matemáticas (o en ZFC, según el caso).
Esta es mi pregunta: ¿Implica la observación (*) que la única ventaja del Segundo Teorema de Incompletitud sobre el primero es que ahora tenemos una sentencia específica (en este caso Con(ZFC)) que es indecidible, que puede utilizarse para demostrar teoremas como "la existencia de un cardinal inaccesible no es demostrable en ZFC"? En otras palabras, ¿se reduce el Segundo Teorema de Incompletitud a un mero tecnicismo sin ninguna implicación filosófica que vaya más allá del Primer Teorema de Incompletitud (que afirma que hay alguna sentencia $\phi$ de tal manera que ni $\phi$ ni $\neg\phi$ seguir desde ZFC)?