$f:\Bbb C\to \Bbb C$ sea una función entera.Si para cada $z\in \Bbb C$ $\exists$ un número entero positivo $n$ tal que $f^n(z)=0$ entonces demuestre que $f$ es un polinomio
Mi intento : Desde $f$ está completo $f$ tiene una expansión en serie de potencias sobre, digamos, un punto $a$ .
Entonces $f(z)=c_0+c_1(z-a)+...+c_n(z-a)^n+...\forall z$ donde $c_n=\dfrac{f^n(a)}{n!}$
Entonces, por la hipótesis dada para el $a\in \Bbb C ;\exists m$ tal que $c_m=\dfrac{f^m(a)}{m!}=0\implies f^m(a)=0$ y esto es válido para todos los $a\in \Bbb C$ .
Desde $\Bbb N$ es contable y $\Bbb C$ es incontable por lo que existe al menos una $n$ tal que $f^n(a)=0$ para un número incontable de $a\in \Bbb C$ . Así que una función entera sólo puede tener un número contable de ceros, por lo que $f^n(z)\equiv 0$ . Así que $f$ es un polinomio.
Pero no puedo averiguar si es correcto o no. Por favor, ayúdenme a averiguarlo. ¿Hay algún fallo en la lógica?
