¿Dónde está mi error al evaluar la masa de $V$ ?

Question

Evaluar la masa de $V=\{ (x,y,z)|x^2+y^2+z^2\le 2, z \ge 0, x^2+y^2 \ge 1$ }
Mientras que la densidad de la masa es $\phi(x,y,z)=z$

Lo que hice:
Cómo visualizo $V$ : La primera parte es una bola con un radio $2$ (es el volumen), $z\ge 0$ me hace tomar la mitad superior de la pelota, y para $x^2+y^2 \ge 1$ , dibujé el cilindro $x^2+y^2=1$ dentro del medio balón, y $V$ es el volumen entre la bola y el cilindro.
Así que decidí utilizar las coordenadas de la bola para resolver:
$x=r\cos\theta \sin\phi$ .
$y=r\sin\theta \sin\phi.$
$z=r\cos\phi$
$|J|=r^2\sin\phi$ .
Y por lo que visualicé $V$ he establecido los límites así:
$1 \le r \le 2$ . (del cilindro a la bola)
$0\le \phi \le \frac{\pi}{2}$ . (del positivo $z$ eje a plano xy - media bola).
$0 \le \theta \le 2\pi$ . (debe dar la vuelta a todo $V$ ).

Y así,
$$\int_0^{\pi/2}d\phi \int_0^{2\pi}d\theta\int_1^2r^3\sin\phi\cos\phi=2\pi[4-\frac{1}{4}]\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \sin(2\phi)d\phi = \pi[4-\frac{1}{4}]$$

Pero la respuesta final es : $\frac{\pi}{4}$ .

Me gustaría saber qué errores he cometido, gracias de antemano.

Answer 1

El límite inferior de $\rho$ es incorrecto. Si usted toma $\rho = 1$ (una constante), que es una esfera pero $\rho$ está limitado por debajo por el cilindro $x^2+y^2 = 1$ y la distancia radial a un punto del cilindro es una función de $\phi$

Si lo haces en coordenadas esféricas, en la superficie del cilindro,

$x^2+y^2 = \rho^2\sin^2\phi = 1 \implies \rho = \csc\phi$

En la intersección de la esfera y el cilindro,

$\rho = \sqrt2, \rho \sin\phi = 1 \implies \phi = \frac{\pi}{4}$

Así que la integral es,

$\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_0^{2\pi} \int_{\csc\phi}^{\sqrt2} \rho^3 \sin\phi \cos\phi \ d\rho \ d\theta \ d\phi = \frac{\pi}{4}$