Comprobación de la convergencia de la siguiente serie

Question

Determina si la siguiente serie es convergente:

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin^3 k}{\sqrt k}.$$

Al principio cuando estoy resolviendo el problema, pensé en la prueba de comparación de límites, si divido el término por $\frac{k^3}{\sqrt k}$ . Entonces obtendré un límite de 1, y como el sumatorio del término que divido es divergente, concluyo que es divergente.

Sin embargo, creo que hay algo que no funciona porque si hago lo mismo en $\frac{\sin^3 k}{k^2}$ dividiéndolo por $\frac{k^3}{k^2}$ También obtengo un límite de 1, pero la suma de k es claramente divergente. Esto no es correcto porque la suma $\frac{\sin^3 k}{k^2}$ converge claramente. ¿Qué es lo que falla aquí?

Answer 1

La serie es convergente: podemos expresar $\sin^3j$ como una combinación lineal de $\sin(3j)$ y $\sin j$ por lo que nos vemos reducidos a demostrar que la serie $$\sum_{j=1}^\infty\frac{\sin(3j)}{\sqrt{j}}\mbox{ and }\sum_{j=1}^\infty\frac{\sin j}{\sqrt j}$$ son convergentes.

Para ello, utilizamos una suma por parte más acotada de las secuencias $\left(\sum_{j=1}^n\sin(3j)\right)_{n\geqslant 1}$ y $\left(\sum_{j=1}^n\sin j\right)_{n\geqslant 1}$ .