Probando la convergencia de la siguiente serie

Question

¿Determina si la siguiente serie es convergente?

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin^3 k}{\sqrt k}.$$

Al principio, al resolver el problema, pensé en la prueba de comparación de límites, si divido el término por $\frac{k^3}{\sqrt k}$. Entonces obtendré un límite de 1, y dado que la suma del término que divido es divergente, concluyo que es divergente.

Sin embargo, creo que hay algo mal porque si hago lo mismo con $\frac{\sin^3 k}{k^2}$ dividiéndolo por $\frac{k^3}{k^2}$, también obtengo un límite de 1 pero la suma de k claramente diverge. Eso no está bien porque la suma $\frac{\sin^3 k}{k^2}$ claramente converge. ¿Qué está mal aquí?

Answer 1

La serie es convergente: podemos expresar $\sin^3j$ como una combinación lineal de $\sin(3j)$ y $\sin j$, por lo que se reduce a demostrar que las series $$\sum_{j=1}^\infty\frac{\sin(3j)}{\sqrt{j}}\mbox{ y }\sum_{j=1}^\infty\frac{\sin j}{\sqrt j}$$ son convergentes.

Para este fin, utilizamos una suma por partes más la acotación de las secuencias $\left(\sum_{j=1}^n\sin(3j)\right)_{n\geqslant 1}$ y $\left(\sum_{j=1}^n\sin j\right)_{n\geqslant 1}$.