Dimensión de un espacio de matrices

Question

Dejemos que $m,n\in\mathbb{Z}$ y $r<\min$ (m,n). Denotemos por $M$ el conjunto de $m\times n $ matrices sobre un campo $k$ y que $M_r$ sea el subconjunto de matrices de rango al menos igual a $r$ .

Ahora fija una matriz $A\in M_r$ y un subespacio $W\in G(n-r,n)$ de dimensión $n-r$ en $k^n$ , de tal manera que $A\cdot W = 0$ . Considere el conjunto $$ T= \left\{ B\in M \mid B\cdot W \subset A\cdot k^n \right\}. $$ ¿Cuál es la forma más fácil/más elegante de ver eso $T$ tiene dimensión $(n-r)(m-rank[A])$ ?

EDITAR: $T$ no tiene dimensión, sino CO-dimensión $(n-r)(m-rank[A])$ dentro de $M$ .

Answer 1

Esa no es la respuesta que recibo. Supongamos que el rango de $A$ es $r$ . Seleccione una base para $k^n$ tal que $k^n\cong W_1\oplus V_1$ , donde $W_1=\operatorname{ker}(A)$ y $A$ restringido a $V_1$ es un isomorfismo con la imagen de $A$ . Ahora seleccione una base para $k^m$ tal que $k^m\cong W_2\oplus V_2$ , donde $V_2=\operatorname{Im}(A)$ . Con respecto a estas bases, $A$ parece $$ \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0& A_{22} \end{pmatrix} $$ donde $A_{22}$ es un $r\times r$ matriz de bloques con determinante distinto de cero. Supongamos que tenemos el caso especial en el que $W=W_1$ . Entonces un $B$ satsificando lo que quieres parece $$ \begin{pmatrix} 0 & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}. $$ Pero, la dimensión del conjunto de tales matrices es $r(m-r)+r(n-r)+r^2$ que no es lo mismo que $(n-r)(m-r)$ .

EDIT: Con la información añadida y la suposición de que el libro está pidiendo la codimensión del subespacio de matrices, aquí hay una respuesta. Todo es como arriba, pero el rango de $A$ no puede ser $r$ . Así, $A_{22}$ será una matriz de bloques de tamaño $s\times s$ . Ajustar en consecuencia para $B_{12}$ , $B_{21}$ y $B_{22}$ . Entonces la dimensión que buscamos es la dimensión de la matriz de bloques $0$ que es exactamente lo que se pide.