¿Caracterizan estas propiedades a la diferenciación?

Question

Dejemos que $L: C^\infty(\mathbb{R}) \to C^\infty(\mathbb{R})$ sea un operador lineal que satisfaga

$L(1) = 0$

$L(x) = 1$

$L(f \cdot g) = f \cdot L(g) + g \cdot L(f)$

Es $L$ necesariamente la derivada? Tal vez si se añade algún tipo de suposición de continuidad en $L$ ? Si te sirve de ayuda puedes poner la "regla de la cadena" en la lista de propiedades.

Puedo ver que $L$ debe enviar cualquier función polinómica a su derivada. Quiero decir "simplemente aproxima cualquier función por polinomios, y pasa a un límite", pero veo dos complicaciones: Primero $\mathbb{R}$ no es compacta, por lo que un esquema de aproximación de este tipo no es probable que funcione. Tal vez la convolución con funciones de corte suave podría ayudarme aquí. Incluso si pudiera preparar algo, me preocupa que si los polinomios $p_n$ convergen a $f$ , puede que no tenga $p_n'$ convergiendo a $f'$ . Mi capacidad de análisis no es muy buena, así que me gustaría recibir ayuda.

Me interesa esta pregunta porque es una ligera variante de una caracterización dada aquí:

¿Por qué enseñamos a los estudiantes de cálculo la derivada como límite?

No estoy seguro de si esas propiedades caracterizan o no al derivado, y están estrechamente relacionadas con las mías.

Si estas propiedades no caracterizan al operador derivado, me gustaría ver otro operador que satisfaga estas propiedades. ¿Se puede escribir uno o se necesita el axioma de elección? Creo que cualquier contraejemplo tendría que ser muy raro.

Answer 1

Sí, estos obligan a ser una diferenciación ordinaria. Tenemos que demostrar que para cada fijo $x_0 \in \mathbb{R}$ el compuesto

$$C^\infty(\mathbb{R}) \stackrel{L}{\to} C^\infty(\mathbb{R}) \stackrel{ev_{x_0}}{\to} \mathbb{R}$$

es sólo la derivada en $x_0$ . Para cada $f \in C^\infty(\mathbb{R})$ Hay un $C^\infty$ función $g$ tal que

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + (x - x_0)^2g(x)$$

y así $(ev_{x_0} L)(f) = ev_{x_0}(f'(x_0) + 2(x - x_0)g(x) + (x - x_0)^2 L(g)(x))$ por las propiedades que ha enumerado. Por supuesto, la evaluación en $x_0$ mata los dos últimos términos y uno se queda con $f'(x_0)$ , según se desee.

Answer 2

He aquí una visión un poco más general de esta cuestión. En primer lugar, observe que su condición $L(1) = 0$ es redundante. Esto se debe a que si se toma $f = g = 1$ en tu tercera condición, obtienes $L(1) = L(1) + L(1)$ . Es un teorema que se remonta hasta donde yo sé a Chevalley (ver alrededor de la página 76 en su Teoría de los Grupos de Lie) que si $M$ es un $C^\infty$ entonces cualquier mapa lineal $L$ de $C^\infty(M)$ a sí mismo que satisface la condición de derivación (su tercera condición) es un campo vectorial suave. Esto significa que en coordenadas locales $(x_1,\ldots,x_n)$ tiene la forma $L(f) = \sum_i h_i {\partial f\over \partial x_i}$ donde el $h_i$ son funciones suaves. Además, si calculamos $L(x_j)$ utilizando esta fórmula vemos que $h_j$ es sólo $L(x_j)$ . Así, en particular, si un mapa lineal $L$ de $C^\infty (R^n)$ a sí mismo satisface la condición de derivación y $L(x_i) = \delta_{ij}$ entonces $L = {\partial \over \partial x_j}$ .

Answer 3

Recuerdo haber pensado lo mismo que dice Richard y pensar en definir $L$ simplemente utilizando la tercera propiedad. Creo que sólo usando esta propiedad se puede probar la regla de cambio (pero tal vez estoy equivocado, y mis notas están lejos).

La advertencia es que si no utiliza $L(x)=1$ entonces se puede pensar (con las restricciones adecuadas en los dominios) en lo siguiente:

$$L(f)(x)=\frac{f(x)}{x}$$

que, por cierto, satisface la regla de la cadena. :)