Pozo potencial 3D Delta

Question

La 1D delta potencial bien $V(x) = -A\delta(x - a)$ siempre tiene exactamente un estado asociado. Lo mismo es cierto para el 3D delta potencial bien $V(\vec{r}) = -A\delta(\vec{r}-\vec{a})$. Puedo mostrar esto para $l = 0$, no sé cómo hacer los cálculos de lo contrario.

Por lo tanto, dos preguntas,

1. Puedo concluir que no es sólo un estado limitado por el 3D potencial para $l \not = 0$? He visto que las energías de los estados propios para el átomo de hidrógeno sólo dependen de $n$, pero me pregunto si esta es una instancia de una más general resultado?

2. Al$\vec{a} = 0$$l=0$, no hay normalizable autoestados. Para $l \not = 0$, el potencial efectivo en el radial de la ecuación se convierte en grande en el origen, puedo usar esto para concluir que no hay enlazados a los estados cuando $\vec{a}=0$?

Answer 1

Dado que el espectro de energía no depende de la posición absoluta $\vec{r}=\vec{a}$ de la delta potencial, podemos suponer que la $\vec{a}=\vec{0}$. Por lo tanto, en su formulación actual (v1), OP efectivamente está diciendo que

El atractivo 1D delta potencial $V(x) = -A\delta(x)$, $A>0$, tiene exactamente un estado asociado. Lo mismo es cierto para el 3D delta potencial de $V(\vec{r}) = -A\delta^3(\vec{r})$.

No, el desnudo 3D delta potencial no constituye un bien planteado problema matemático sin algún tipo de regularización/renormalization, ver, por ejemplo, Ref. 1 y Ref. 2. El desnudo de espectro tiene infinitamente muchos enlazados a los estados, y que no está delimitado desde abajo.

El último puede ser rigurosamente probada a través de por ejemplo, el método variacional. Prueba: Considere la posibilidad de una Gaussiana normalizada de la prueba/de prueba de función de onda

$$\psi(r)~=~Ne^{-\frac{r^2}{2L^2}}~=~Ne^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{2L^2}}, \qquad \int d^3r~|\psi(r)|^2 ~=~\langle\psi|\psi \rangle~=~1,$$

donde $N,L>0$ son dos constantes. Para dimensiones razones, la constante $L$ debe tener la dimensión de longitud, y $1/N^2$ debe tener la dimensión de volumen. De ello se sigue que

1. La constante de normalización $N$ debe escala como $$N ~\propto~ L^{-\frac{3}{2}}.$$

2. La expectativa de valor de $\langle\psi| K|\psi \rangle$ de la energía cinética del operador $K=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta$ debe escala como $$0~\leq~\langle\psi| K|\psi \rangle ~\propto~ L^{-2},$$ esencialmente, porque el Laplaciano $\Delta=\vec{\nabla}^2$ contiene dos posiciones de derivados.

3. La expectativa de valor de $\langle\psi| V|\psi \rangle$ de la energía potencial $V=-A\delta^3(\vec{r})$ debe escala como $$0~\geq~\langle\psi|V|\psi \rangle~=~-AN^2~\propto~ -L^{-3}.$$

Por lo tanto por la elección de $L\to 0^{+}$ más pequeño y más pequeño, el potencial negativo de la energía $\langle\psi| V|\psi \rangle\leq 0$ gana a la positiva energía cinética $\langle\psi| K|\psi \rangle\geq 0$, de modo que el promedio de la energía $\langle\psi| H|\psi \rangle$ se convierte en más y más negativo,

$$ \langle\psi| H|\psi \rangle ~=~\langle\psi| K|\psi \rangle + \langle\psi| V|\psi \rangle ~\to~ -\infty \qquad \text{for}\qquad L\to 0^{+}. $$

Por lo tanto, el espectro es ilimitado desde abajo.

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Referencias:

1. S. Geltman, Enlazados a los Estados en Función Delta Potenciales, Diario de Atómica, Molecular y Óptica Física, Volumen De 2011, Artículo de IDENTIFICACIÓN 573179.

2. R. J. Henderson y S. G. Rajeev, Normaliza la Ruta Integral de la Mecánica Cuántica, arXiv:hep-th/9609109.