Principio de gran desviación

Question

He estado leyendo el libro de Amir Dembo, y al principio, me encontré con este resultado que se me cruzó y desafortunadamente, no puedo derivarlo por mí mismo. Por lo tanto, estoy buscando un poco de ayuda.

Sucede que para una secuencia de variables aleatorias normales estándar IID $X_i$ , para $i=1,...,n$ . Obtenemos la media empírica como

$\hat{S}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ .

A continuación, la reclamación comienza señalando que:

$P ( |\hat{S}_n | \geq \delta ) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_A e^{-x^2/2} dx$ ;

Por lo tanto:

$\frac{1}{n} \log P ( |\hat{S}_n | \geq \delta ) \to_{n\to \infty} -\frac{\delta^2}{2}$ .

El resultado anterior es el que no puedo obtener. He probado a tomar el logaritmo del $P ( |\hat{S}_n | \geq \delta )$ pero no hubo suerte. Es decir, termino con el logaritmo de la integral de $e^{x^2/2}$ que es equivalente al logaritmo de una suma, así que no hay manera de avanzar.

¿Alguien sabe cuál es el truco? ¡¡¡Gracias!!!

Esto está en la página 2 del libro de Dembo en Grandes desviaciones.

Answer 1

Necesitas un dato de cálculo sobre el comportamiento de la cola de la distribución gaussiana: $P(Z>t) \sim \phi(t)/t$ como $t\to\infty$ (ver este viejo Respuesta de SE o una fórmula como la del Artículo de Wikipedia ).

Su $S_n\sim N(0,1/n)$ así que $P(|S_n|\ge \delta)=P(|Z|\ge \sqrt n \delta)$ para una normal estándar $Z\sim N(0,1)$ . Por lo tanto, utilice $t=\sqrt n \delta$ en las fórmulas del párrafo anterior. (Tenga en cuenta que $\log \phi(t) \approx -t^2/2$ para grandes $t$ , donde $\phi(t)=\exp(-t^2/2)/\sqrt{2\pi}$ es la función de densidad normalizada, y que $P(|Z|>t)=2P(Z>t)$ al menos cuando $t>0$ .)