Una controversia sobre la generalización de la función Signo a los números duales

Question

Aquí hay un enlace a una larga discusión sobre la generalización de $\operatorname{sign}z$ a los números duales.

Hay básicamente dos versiones propuestas:

1. $\operatorname{sign}(a+\varepsilon b) = \operatorname{sign}(a) + 2 b \delta(a) \varepsilon$ - propuesto por el usuario M.G. en su respuesta.

2. $\operatorname{sign}(a+\varepsilon b) = \operatorname{sign}(a) + 2 \operatorname{sign}(b) \delta(a) \varepsilon$ - esta versión es la mía

Los resultados de las pruebas con matrices en Mathematica no son concluyentes, ya que dan resultados diferentes dependiendo de si $b$ es variable o una constante numérica ( enlace a la pregunta en Mathematica.SE).

La versión (1) obviamente no mantiene la importantísima propiedad de la función Signo: $\operatorname{sign} (u v)=\operatorname{sign} u\cdot \operatorname{sign} v$ .

Otro de mis puntos es que para $b>0$ , $\operatorname{sign} x=\operatorname{sign} bx$ por lo que el lado derecho no debería depender de $b$ excepto por su signo.

No entiendo los argumentos esgrimidos contra mi versión (que se rompe con el escalado y el cambio de base). ¿Puede alguien exponer en un lenguaje sencillo los posibles argumentos contra mi generalización o explicar mejor los existentes? ¿Por qué no funcionaría?

Answer 1

Así pues, primera observación: la función de signo no es diferenciable en términos habituales, por lo que hay que utilizar las derivadas en el sentido de las distribuciones.

Segunda observación: Obsérvese que la derivada de la función $x u( x)$ evaluado en el punto $x$ (que escribo $(u(\lambda x))'$ ) es diferente de $u'( x)$ (la derivada de $u$ evaluado en el punto $ x$ ).

Dejemos que $u$ ser un $0$ -distribución homogénea (lo que se llama invariancia por estiramiento, es decir $u(x)=u(x)$ ). Entonces su derivada (en el sentido de las distribuciones, o en el sentido clásico si esta derivada existe en el sentido clásico) es $-1$ -homogéneo ya que

• por un lado $(u(x))' = (u(x))'=u'(x)$ como la función en $0$ -homogéneo
• en el otro lado $(u( x))' = u'( x)$

La última identidad es válida para las distribuciones ya que para cualquier función de prueba suave $\varphi$ $$ \langle (u( x))',\varphi\rangle = -\langle u( x),\varphi'\rangle = -\frac{1}{|\lambda|}\langle u,\varphi'(x/\lambda)\rangle \\ = -\langle u,\frac{1}{|\lambda|}\varphi'(x/\lambda)\rangle = -\frac{\lambda}{|\lambda|}\langle u,(\varphi(x/\lambda))'\rangle \\ = \frac{\lambda}{|\lambda|}\langle u',\varphi(x/\lambda)\rangle = \lambda\,\langle u'(\lambda x),\varphi\rangle $$ donde utilicé la definición de la derivada de las distribuciones para obtener las identidades 1 y 5, la regla de la cadena para las funciones suaves para obtener la identidad 4, y la definición de las composiciones de las distribuciones para obtener las identidades 2 y 6.

Por lo tanto, en el sentido de las distribuciones y en el caso de la función $\mathrm{sign}$ , $\mathrm{sign}'(\lambda x) = \mathrm{sign}'(x)/\lambda$ . Más concretamente, dado que la derivada de $\mathrm{sign}$ es $\delta_0$ : $$ \delta_0(bx) = \mathrm{sign}'(bx) = (\mathrm{sign}(bx))'/b = (\mathrm{sign}(x))'/b = \delta_0(x)/b $$ por lo que $\mathrm{sign}'= \delta_0$ no es "invariante por estiramiento", y por eso la fórmula 1 tiene más sentido que la fórmula 2 en tu pregunta (creo que era el único punto que te faltaba?)