Dejemos que $A,B$ sean conjuntos. Demuestre que las tres afirmaciones $A\subseteq B$ , $A\cup B = B$ y $A\cap B = A$ son lógicamente equivalentes.

Question

Dejemos que $A,B$ sean conjuntos. Demuestre que las tres afirmaciones $A\subseteq B$ , $A\cup B = B$ y $A\cap B = A$ son lógicamente equivalentes.

MI INTENTO

• $A\subseteq B$ $\Rightarrow$ $A\cup B = B$ .

Si $x\in A\cup B$ , ya sea $x\in A$ o $x\in B$ . En el primer caso, debido a la suposición, $x\in B$ . En el segundo caso, claramente $x\in B$ . Así, en ambos casos, se tiene que $x\in B$ que termina la primera parte (la inclusión $B\subseteq A\cup B$ es evidente).

• $A\cup B = B \Rightarrow A\cap B = A$ .

Si $x\in A\cup B$ , ya sea $x\in A$ o $x\in B$ . En ambos casos, concluimos que $x\in B$ dado que $A\cup B\subseteq B$ . Por lo tanto, si $x\in A$ concluimos que $x\in B$ debido a que $A\cup B\subseteq B$ . En otras palabras, $A\subseteq A\cap B$ . Dado que la inclusión $A\cap B\subseteq A$ es obvio, hemos terminado.

• $A\cap B = A \Rightarrow A\subseteq B$ .

Si $x\in A$ entonces $x\in A\cap B$ ya que tenemos que $A\subseteq A\cap B$ . Pero entonces $x\in B$ . En otras palabras, si $x\in A$ hemos demostrado que $x\in B$ y la inclusión $A\subseteq B$ se mantiene.

Me gustaría saber si estoy razonando correctamente. ¿Puede alguien comprobar si mi argumento procede?

Answer 1

Sí, eso es convincente.

El segundo párrafo puede necesitar un poco de pulido.   El razonamiento es válido, pero un poco confuso de seguir. Algo así como

Demostremos ahora que $A\cup B=B$ implica que $A\cap B=A$ .   En primer lugar, $A\cap B\subseteq A$ es evidente.   En segundo lugar, $A\subseteq A\cap B$ se demuestra así: cualquier cosa en $A$ está en $A\cup B$ que es igual a $B$ por la premisa, por lo que cualquier cosa en $A$ es tanto en $A$ y en $B$ .

Answer 2

$$A\subseteq B\iff[a\in A\Rightarrow a\in B]\iff[a\in A\Rightarrow a\in A\land a\in B]\iff A\cap B=A$$ $$A\subseteq B\iff[a\in A\Rightarrow a\in B]\iff[a\in A\lor a\in B\iff a\in B]\iff A\cup B=B$$