¿Por qué desaparecen los términos de exponente negativo en esta demostración del teorema del residuo?

Question

Esta página esboza una demostración del teorema del residuo en la que se afirma que en:

$$ \color{grey}{ \sum^{-\infty}_{n=-2} a_n \int_\gamma(z-z_0)^n dz } + a_{-1}\int_\gamma\frac 1 {z-z_0} dz + \color{grey}{ \sum^\infty_{n=0} a_n \int_\gamma(z-z_0)^n dz } $$

Los términos grises desaparecen por el teorema de la integral de Cauchy. $\gamma$ es una curva que rodea $z_0$ . Puedo ver por qué los términos positivos (mano derecha) desaparecen, ya que $(z-z_0)^n$ es holomorfo dentro de $\gamma$ cuando $n$ es positivo pero para los negativos $n$ los términos no son holomorfos dentro de $\gamma$ Entonces, ¿cómo podemos aplicar el teorema integral de Cauchy?

Answer 1

Los trucos consisten en que se pueden cambiar las variables. Dejando que $(z-z_0)^{-1}=w$ Así que $z=w^{-1}+z_0$ así que $dz=-w^{-2}$ puedes hacer el mismo cambio de variable:

$$\int_{\gamma} (z-z_0)^{-n} dz = -\int_{\gamma_1} w^{n-2} dw$$ Cuando $n=1$ , $w^{n-2}$ sigue sin ser holomorfo, pero cuando $n>1$ es, por lo que este valor es cero.

Geométricamente lo que está ocurriendo es que estamos encontrando que $(z-z_0)^{-n}$ es holomorfo en un conjunto simplemente conectado que incluye el "infinito". Eso es bastante avanzado, pero $\mathbb C\cup\{\infty\}$ se llama a veces la "esfera de Riemann".