(Verificación de la prueba) Secuencia convergente de funciones en $L^1 (\mu) \implies$ la secuencia es uniformemente integrable.

Question

Esto corresponde al ejercicio $3.11$ (b) en el libro de análisis real de Folland. Esperaba que alguien pudiera echar un vistazo a mi prueba. En concreto, quería asegurarme de que el último párrafo de mi argumento se mantiene.

La definición de integrabilidad uniforme proporcionada es la siguiente: $\{f_\alpha\}_{\alpha \in A}$ es uniformemente integrable si $\forall \epsilon>0$ , $\exists \delta > 0$ tal que $|\int_E f_\alpha d\mu| < \epsilon$ para todos $\alpha \in A$ siempre que $\mu(E) < \delta$ para cualquier medida $E$ .

El problema nos da una secuencia $f_n \to f$ en $L^1$ . Debemos demostrar que toda la secuencia es uniformemente integrable. Aquí está mi intento:

Establecer cualquier $n \in \mathbb{N}. |f_n| = |f_n - f_m + f_m - f + f| \leq |f_n -f_m| + |f_m - f| + |f|$ .

$\implies \int_E |f_n| d\mu \leq \int_E |f_n -f_m| d\mu + \int_E |f_m - f| d\mu + \int_E |f| d\mu.$

$f \in {L}^1 \implies f$ es uniformemente integrable. $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una secuencia convergente en $L^1$ sugiere que $m \to \infty$ tenemos:

$\int_E |f_n -f_m| d\mu \to 0$ y $\int_E |f_m - f| d\mu \to 0$ .

Dado $\epsilon > 0$ elegido y lo suficientemente grande $m$ , siempre que $\mu(E) < \delta$ (el $\delta > 0$ basado en la integrabilidad uniforme de $f$ ) tenemos:

$$ \int_E |f_n| d\mu \leq \int_E |f_n -f_m| d\mu + \int_E |f_m - f| d\mu + \int_E |f| d\mu < 3 \frac{\epsilon}{3} = \epsilon $$

Esto es válido para todos los $n \in \mathbb{N}$ ( $\because n$ era arbitrario) $\implies$ se mantiene para toda la secuencia $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ En otras palabras, implica que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es uniformemente integrable. Para mayor detalle, podríamos decir alternativamente que utilizando el hecho de que es una secuencia de Cauchy, esto se mantiene para todo $l \geq n$ lo que nos dejaría con la colección finita $(f_i)_{1 \leq i \leq n-1}$ a considerar. Para ello, podríamos aplicar el procedimiento utilizado para establecer que una colección finita de $L^1$ funciones es uniformemente integrable y obtener el resultado.

UPDATE Como ha señalado muy amablemente Friedrich Philipp, la prueba anterior se basaba en una premisa incorrecta (detallada en los comentarios). Dejo aquí la prueba que finalmente he resuelto para que sirva de referencia.

Arreglar $\epsilon > 0$ . Existe $N_{\epsilon} \in \mathbb{N}$ tal que para todo $k > N_{\epsilon}$ por el hecho de $L^1$ convergencia, tenemos: $|\int_E f_k - f d\mu| \leq \int_E |f_k - f| d\mu < \frac{\epsilon}{2}$ . considerando $f \in L^1$ como una colección de un solo elemento, por la parte (a), podemos decir que $f$ es uniformemente integrable. Es decir, $\exists \delta_1 > 0$ tal que $|\int_E f d\mu| < \frac{\epsilon}{2}$ siempre que $\mu(E) < \delta_1$

Así, $\forall k > N_{\epsilon}$ tenemos:

$$|\int_E f_k d\mu| \leq \int_E |f_k - f| + |\int_E f d\mu| < \epsilon$$ siempre que $\mu(E) < \delta_1$ .

Por la parte (a), tenemos que $(f_i)_{1 \leq i \leq N_{\epsilon}}$ es una colección finita en $L^1$ que es uniformemente integrable, es decir, $\exists \delta_0 > 0$ tal que $|\int_E f_i d\mu | < \epsilon$ para todos $i \in \{ 1, \dots, N_{\epsilon} \}$ siempre que $\mu(E) < \delta_0$ .

Tomando $\delta = \min \{\delta_0, \delta_1\}$ , siempre que $\mu(E) < \delta$ tenemos $|\int_E f_n d\mu| < \epsilon$ para todos $n \in \mathbb{N}$ Es decir, $\{f_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ es uniformemente integrable.

Answer 1

Dejemos que $\{f_n\}\rightarrow f\in L^1(\mu)$ y $\epsilon > 0$ . Elija $N\in\mathbb{N}$ tal que $$\int |f_n - f|d\mu < \frac{\epsilon}{2}$$ para todos $n\in\mathbb{N}$ con $n> N$ .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que, como $\{f_n\}_\{n=1\}^N$ es uniformemente integrable por la parte a.) existe un $\delta_1 > 0$ tal que, para todo $n \leq N$ , $$\left|\int_E f_n d\mu\right| < \epsilon$$ siempre que $E\in M$ y $\mu(E) < \delta_1$ .

Ahora bien, como $\{f\}$ es uniformemente integrable por la parte a.) existe un $\delta_2 > 0$ tal que $$\left|\int_E f d\mu\right| < \frac{\epsilon}{2}$$ siempre que $E\in M$ y $\mu(E) < \delta_2$ . Entonces, para todos los $n>N$ tenemos \begin{align*} \left|\int_E f_n d\mu\right| &= \left|\int_E (f_n - f) + \int_E f d\mu\right|\\ &\leq \left|\int_E (f_n - f)d\mu\right| + \left|\int_E f d\mu\right|\\ &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\\ &= \epsilon \end{align*} siempre que $E\in M$ y $\mu(E) < \delta_2$ .

Así que, tomando $\delta=\min\{\delta_1, \delta_2\}$ tenemos que, para todos $n$ , $$\left|\int_E f_n d\mu\right| <\epsilon$$ siempre que $E\in M$ y $\mu(E) < \delta$ . Así, $\{f_n\}$ es uniformemente integrable.