Ponga un ejemplo de dos conjuntos no compactos $A$ y $B$ tal que $A \cup B$ es compacto y $A \cap B$ es compacto.
Mi intento: Que $A=\{1/n:n=1,2,...\}$ y $B=\{0\} \cup (1,2]$ . Entonces $A \cup B$ es cerrado y acotado por lo que es compacto y $A \cap B$ está vacía, por lo que también es compacta, pero $A$ y $B$ no son compactas ya que no están cerradas.
¿Es correcto?
Tu respuesta está bien. Sólo recuerda que, dependiendo de para qué sea esto, es posible que también quieras mostrar/explicar por qué $A$ y $B$ no son compactas (demuestre que $A,B$ tienen un punto límite que no contienen por lo que no son cerradas, por lo tanto no son compactas). Ha justificado que $A \cap B$ es compacto. Está claro que $A \cup B$ está acotado. Se puede esperar que se verifique que $A \cup B$ está cerrado, que sólo requieren un poco de trabajo extra de rutina.
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