Concurso, posibilidades de ganar

Question

Estamos preparando un concurso y nos gustaría mantener el número de ganadores en una cantidad razonable (en ambos sentidos: ni muchos ni pocos). Sé que esto será de alguna manera simples probabilidades y así porque hice esto en el pasado, pero no he estado haciendo este tipo de cosas durante los últimos 15 años y casi se olvidó todo sobre él. Aquí está la descripción del concurso :

Se propondrá al usuario que elija entre Y casillas (Y será probablemente 10). Bajo algunas casillas habrá 1 (y sólo 1) elemento, bajo las otras nada. Qué casillas están "llenas" y cuáles están "vacías" se fijará en cuanto entre en el concurso. El número de casillas que "contienen" un artículo es lo que intentamos determinar aquí y dependerá de las probabilidades de ganar. Llamémoslo X.

El usuario tendrá la posibilidad de elegir 3 cajas (llamemos a este número de selecciones Z). ¿Cuáles son las probabilidades de que encuentre: 3 artículos, 2 artículos, 1 artículo, 0 artículo?

Sería estupendo obtener una fórmula que incluya X e Y y Z en lugar de cifras simples, ya que nos gustaría encontrar la combinación más adecuada y es posible que tengamos que hacer los cálculos con diferentes cifras. (Por ejemplo: el número total de casillas (Y) aún no es fijo, el número de casillas que se llenan (X) lo determinaremos nosotros en función de las probabilidades de ganar, y el número de casillas que el usuario puede elegir (Z) probablemente se incrementará bajo ciertas condiciones, como una participación en Facebook ;-))

¡Gracias por su ayuda y si algo no está claro y puede tener un impacto en el resultado, no dude en preguntar!

Answer 1

Tengo que preguntar: Ya que eres @Bartdude, ¿este proyecto es para BART? (San Francisco Bay Area Rapid Transit) Sólo me preguntaba.

Cambiaré su notación ligeramente para reducir la carga cognitiva: \begin{eqnarray} n &:& \mbox{ number of boxes} \\ p &:& \mbox{ number of prizes} \\ d &:& \mbox{ number of drawings (number of times user opens a box} \\ W &:& \mbox{ number of prizes won (number of opened boxes containing a prize)} \end{eqnarray}

Los tres primeros números son parámetros fijos. $W$ es una variable aleatoria. Entonces, asumiendo que todo es igualmente probable de forma natural,

$$ \mathbb{P}(W=w) = \frac{\left(\begin{array}{c} p \\ w \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} n-p \\ d-w \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} n \\ d \end{array}\right)}. $$

El $()$ son estándar. Véase aquí . No te desanimes por todos los factoriales: Muchos factores se cancelan. Puedes calcular los factoriales con, por ejemplo, wolframalpha, donde $C[10,2]$ es $\left(\begin{array}{c} 10 \\ 2 \end{array}\right)$ por ejemplo.

Buena suerte.