La escisión en la homología: $H(D^2, S^1)$

Question

He tratado de encontrar un ejemplo de un espacio no demasiado oscuro para el que se necesite el teorema de escisión para calcular los grupos de homología:

La escisión: Si $Z \subset A \subset X$ donde $A, U$ son subespacios de $X$ y $U$ es un subespacio de $A$ entonces si $\bar{Z} \subset int(A)$ el siguiente mapa es un isomorfismo:

$i_\ast : H(X,A) \rightarrow H(X-Z, A-Z)$ .

Ejemplo: Por ejemplo, si $X=D^2$ y $A=D^2 - \partial D^2$ y $Z = \{ \ast \}$ entonces esto me dice que $H(D^2, A) = H(S^1, \{ \ast \}) = \tilde{H}(S^1) $ que es $\tilde{H_1}(S^1) = \mathbb{Z}$ y $\tilde{H_n}(S^1) = 0$ para $n \neq 1$ .

Pero también puedo calcular esto usando la exactitud:

$H_n(D^2, S^1) = 0$ para $n \neq 2$ y

$H_2(D^2, S^1) = \mathbb{Z}$ .

Tengo dos preguntas al respecto: ¿Qué estoy haciendo mal? Deberían ser los mismos.

¿Y tiene un ejemplo en el que realmente necesite la escisión? Me parece que siempre hay una manera diferente de obtener los grupos de homología y en realidad no necesito la escisión en absoluto.

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Este es un ejemplo de cómo he visto utilizar la escisión.

Propuesta: Sea $M$ sea una superficie. Entonces $H_2(M,M\setminus\{*\})\cong\mathbb Z$ .

Prueba: El punto $*$ está contenido en algún disco cerrado $D\subset M$ con límite $\partial D\cong S^1$ . Ahora aplique la escisión con $Z=M\setminus D$ . Entonces se obtiene $$H_2(M,M\setminus\{*\})\cong H_2(D,D\setminus\{*\})\cong H_2(D,\partial D)$$ y de la larga secuencia exacta del par $(D^2,S^1)$ , usted demuestra que $H_2(D,\partial D)\cong\mathbb Z$ . (Como ha mencionado.) $\Box$

El resultado análogo para $n$ -es muy útil para definir lo que es una orientación de una variedad topológica.

Answer 2

He aquí dos ejemplos en los que la escisión es una herramienta útil.

1) Grupos de homología local (Jim dio un ejemplo específico de esto). Para $x\in X$ la homología local en $X$ es la homología relativa $H_*(X,X\setminus\{x\})$ . Utilizando la escisión, es sencillo demostrar que estos grupos dependen sólo de una vecindad de $x$ . Es decir, si $U$ es una vecindad abierta de $x$ entonces $H_*(X,X\setminus\{x\})=H_*(U,U\setminus\{x\})$ .

2) La escisión se utiliza para demostrar que la relación $H_*(X,A)=\tilde H_*(X/A)$ . Como la definición de escisión que has dado es del libro de Hatcher, te remitiré a la proposición 2.22 del libro para que veas una prueba de este hecho, en la que puedes ver cómo la escisión es crucial para la prueba.