Logaritmos racionales

Question

Mi pregunta es sobre cuándo un logaritmo es racional
por ejemplo $$\log _4 32=5/2$$ y es racional,

pero $$\log _433=2.5221970596792267...$$
no lo es.

¿Cuál debería ser la relación entre a y b para que el logaritmo de abajo sea racional?

$$\log _ab$$

Answer 1

Es una pregunta curiosa para mí.

Sólo hay que observar si $\log _{a}b$ es racional entonces deben existir enteros $p,q$ con $q\ne0$ y $gcd(p,q)=1$ tal que, $$\log_ab=\frac{p}{q}\\\implies b=a^{\frac{p}{q}}\\ \implies b^q-a^p=0$$

Por lo tanto, la relación entre $a,b$ es que $b^q=a^p$ para algunos $q\ne 0,p$ enteros y $\gcd(p,q)=1$ .

Answer 2

Si ambos $a$ y $b$ puede expresarse como una potencia del mismo número, por lo que $a=c^{\alpha}$ y $b=c^{\beta}$ entonces \begin{eqnarray*} \log_a(b) = \frac{\beta}{\alpha}. \end{eqnarray*}