Integral doble con derivadas parciales: cambio a coordenadas polares

Question

Tengo una función $f(x,y)$ que satisface $f(r \cos \theta, r \sin \theta) = g(r)$ . Me gustaría escribir la siguiente integral doble en coordenadas polares, pero tengo problemas con las derivadas parciales dentro de la integral doble.

\begin{equation} \iint_A \biggl[ \Bigl(\frac{\partial^2 f(s,y)}{\partial s^2} \Bigg\vert_{s = x} \Bigr)^2 + 2 \Bigl(\frac{\partial f(s,t)}{\partial s \partial t} \Bigg\vert_{s = x, \\ t = y} \Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial t^2} \Bigg\vert_{t = y} \Bigr)^2 \biggr] \, \mathrm{d}A \end{equation}

Soy consciente de que puedo escribir $\mathrm{d}A = r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta$ . ¿Puede alguien indicarme cómo debería escribir, por ejemplo

\begin{equation} \frac{\partial f(s,t)}{\partial s \partial t} \Bigg\vert_{s = x, \\ t = y} \end{equation}

en coordenadas polares? No estoy seguro de en qué momento debo hacer la sustitución $x = r \cos \theta$ , $y = r \sin \theta$ y qué hace $\frac{\partial}{\partial s}$ o $\frac{\partial}{\partial t}$ ¿se refiere a ese contexto?

Answer 1

Así que para ese tipo de problema siempre se utiliza un nuevo nombre para la función con una función de transferencia variable

También debe escribir claramente : " Que $x$ un verdadero ... " (Te recomiendo que utilices esa formulación para hablar con claridad aunque la mayoría de las veces hayamos entendido

Por ejemplo, defina :

$$ \phi: (r,\theta) \to (r\cos(\theta),r\sin(\theta)) $$

$$ F:(r,\theta)\to (f\circ\phi)(r,\theta) $$

Así que podemos trabajar claramente.

$$(\partial_1F)(r,\theta)=((\partial_1f)\circ\phi)(r,\theta)\cos(\theta)+((\partial_2f)\circ\phi)(r,\theta)\sin(\theta) $$ $$(\partial_2F)(r,\theta)=-((\partial_1f)\circ\phi)(r,\theta)r\sin(\theta)+((\partial_2f)\circ\phi)(r,\theta)r\cos(\theta) $$

Supongo que $f$ es $ \mathcal{C}^2 $ desde que usaste a Schwarz.

Así que sólo calculamos una segunda derivada cruzada :

$$ \partial_{12}F(r,\theta)= -r\sin(\theta)[(\partial_{11}f)\circ\phi(r,\theta)\cos(\theta)+((\partial_{12}f)\circ\phi)(r,\theta)\sin(\theta)] + r\cos(\theta)[(\partial_{11}f)\circ\phi)(r,\theta)\cos(\theta)+(\partial_{12}f)\circ\phi)(r,\theta)\sin(\theta)] $$

Así que puedes evaluar en tu coordenada polar