Estoy tratando de entender Teorema de Gauss : $$ \frac{\pi(x) }{x/\ln x} \to 1 $$ para grandes $x$ .
He tomado la lista de los 1000 primeros números primos de Sitio de la universidad de Utah , los ha guardado en un archivo
2
3
5
7
...y se han trazado estos valores contra sus correspondientes números de línea:
x | y
--+--
2 | 1
3 | 2
5 | 3
7 | 4
...Si entiendo bien $y(x)$ es la misma que la función de recuento de primos $\pi(x)$ , excepto que $y(x)$ no está definida para los compuestos o los no enteros $x$ .
He utilizado gnuplot para dibujar el gráfico:
gnuplot> plot '1000primes.txt' using 1:($0+1) En 1:($0+1) la primera 1 representa la primera columna del archivo para el x -puntos y $0+1 significa el número de línea+1 como el y -puntos (el recuento de los números de línea comienza desde 0). De este modo, el primer punto de datos estaba en (2,1) .
A partir del teorema esperaría que este gráfico se fusionara con $x/\ln(x)$ para grandes $x$ pero no lo haría, pasaría por encima de $x/\ln(x)$ aunque se asemeja en su forma. Así que pensé en multiplicar por una constante:
gnuplot> f(x) = a*x/log(x)Usando la función de gnuplot fit encontré el mejor valor para a=1.13926 :
gnuplot> fit f(x) '1000primes.txt' using 1:($0+1) via aDe modo que la relación asintótica es $$ \pi(x) \to 1.13926... \times \frac{x}{\ln(x)} $$
El gráfico resultante:
gnuplot> plot '1000primes.txt' using 1:($0+1), x/log(x), f(x)
¿Qué estoy entendiendo/haciendo mal?
