Si es mónico, entonces es *propio*. ¿Se cumple lo contrario?

Question

Teorema . Supongamos que $f : X \rightarrow Y$ es mónico. Entonces para todo $g : \bar{X} \rightarrow Y$ existe como máximo una $h : \bar{X} \rightarrow X$ tal que $f \circ h = g$ .

Pregunta . ¿Se cumple la proposición inversa? Es decir, ¿es cierto que para todos los $f : X \rightarrow Y$ si para todo $g : \bar{X} \rightarrow Y$ existe como máximo una $h : \bar{X} \rightarrow X$ tal que $f \circ h = g$ entonces $f$ ¿es mónico?

Y si no, ¿cómo llamamos a los morfismos $f : X \rightarrow Y$ tal que para todo $g : \bar{X} \rightarrow Y$ existe como máximo una $h : \bar{X} \rightarrow X$ tal que $f \circ h = g$ ?

Demostración del teorema . Supongamos que no. Entonces existen dos o más tales $h$ Llámalos $h_0$ y $h_1$ . Así, $f \circ h_0 = g$ y $f \circ h_1 = g.$ Así que $f \circ h_0 = f \circ h_1$ . Pero como $f$ es mónico, esto implica que $h_0 = h_1$ . Contradicción.

Answer 1

Claro, la prueba es más o menos la misma. Supongamos que tenemos $h$ y $h'$ tal que $f \circ h = f \circ h'$ entonces la hipótesis dice $h = h'$ . Pero esto es exactamente lo que significa ser mónico.