¿Cómo puedo demostrar que "si $(e_1, ..., e_k)$ es una base ortonormal para un subespacio $L$ entonces también lo es $(Ue_1, ..., Ue_k)$ "implica que la matriz de $U$ satisface $UU^{*}=I=U^{*}U$ ? Las columnas tienen que ser linealmente independientes y los vectores que forman las columnas deben ser de longitud uno, pero ahí es donde me atasco. También una dirección $UU^{*} = I$ parece ser más fácil de probar que $U^{*}U=I$ .
Respuesta
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Tome la base estándar $\{e_1, ..., e_n\}$ para $\mathbb{C}^n$ . Esto es ortonormal. Entonces las columnas de la matriz que representa $U$ en la base estándar vienen dadas por $$ U = [Ue_1 ... Ue_n]$$ Por la definición de multiplicación de matrices para cualquier matriz $A$ tenemos $(A^*A)_{ij} = \langle A_i, A_j \rangle$ donde $A_i$ es el $i$ -en la columna de $A$ . Pero como éstas son ortonormales en el caso de $U$ por suposición obtenemos $(U^*U)_{ij} = \delta_{ij}$ y por lo tanto $U^*U = I$ .
