¿Existe un límite que caracterice la doble diferenciabilidad?

Question

Si $f$ es dos veces diferenciable en $x=a$ entonces tenemos

$$ f''(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h) }{h^2} $$

Sin embargo, hay funciones que no son doblemente diferenciables para las que existe este límite (por ejemplo, la función signo).

¿Existe una definición de límite para $f''(a)$ que existe si $f$ ¿es dos veces diferenciable?

Answer 1

Por qué no iterar la definición de la derivada: vemos que $f$ es diferenciable si el límite

$$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

existe. Entonces $f$ es doblemente diferenciable si el límite

$$f''(x) = \lim_{k\to 0} \frac{f'(x+k) - f'(x)}{k}$$

existe. Introduciendo la definición de la primera derivada, vemos $f$ es doblemente diferenciable si el límite doble

\begin{align*} f''(x) &= \lim_{k\to 0} \frac{\lim_{h\to 0} \frac{f(x+k+h)-f(x+k)}{h} - \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}}{k}\\ &= \lim_{k\to 0} \lim_{h\to 0}\frac{f(x+k+h)-f(x+k)-f(x+h)+f(x)}{hk} \end{align*}

existe. Por supuesto, si este límite existe, esto implicaría que

$$f''(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}$$

No estoy seguro de que podamos utilizar esta última como definición, ya que se derivaría de tomar un valor específico para $k$ Dicho esto, no tengo un ejemplo concreto en el que el último límite exista en un punto pero la función no sea dos veces diferenciable allí.

Answer 2

La pregunta parece ser si existe una aproximación de diferencia que implique un único incremento $h$ tal que la aproximación converge al valor de la segunda derivada como $h \to 0$ si y sólo si la segunda derivada existe.

La definición de la segunda derivada en un punto $x$ es $$f''(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f'(x+h)- f'(x)}{h},$$

suponiendo que la primera derivada está definida en una vecindad de $x$ .

Como se sugiere en otra respuesta, esto se puede escribir como un límite iterado

$$f''(x) = \lim_{h \to 0}\lim_{k \to 0}\frac{f(x+h+k)- f(x+h) +f(x+k) + f(x)}{hk}.$$

Todavía no se ha demostrado nada, ya que sólo se trata de una reafirmación de la definición.

La pregunta apropiada ahora -- planteada por el OP en los comentarios -- es bajo qué condiciones el doble límite como $h,k \to 0$ convergen al mismo valor:

$$f''(x) = \lim_{h,k \to 0}\frac{f(x+h+k)- f(x+h) -f(x+k) + f(x)}{hk}.$$

Si es así, entonces el límite diagonal con $h = k$ debe converger y tenemos

$$f''(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+2h)- 2f(x+h) + f(x)}{h^2}.$$

Nótese que los límites iterados pueden ser intercambiados, pero esto es una mera consecuencia de la simetría y no garantiza que el límite doble exista. Hay, por supuesto, muchos ejemplos bien conocidos en los que los límites iterados convergen al mismo valor pero el límite doble no existe.

Sin embargo, si el límite interior es uniformemente convergente, entonces el límite doble existe. Esto se garantiza cuando la segunda derivada está acotada en alguna vecindad de $x$ . Entonces tenemos por el teorema de Taylor

$$f(x+h+k) = f(x+h) + f'(x+h)k + f''(\xi)k^2/2, $$

y

$$\left|\frac{f(x+h+k) - f(x+h)}{k} - f'(x+h)\right| = |f''(\xi)k/2| \leqslant Mk/2. $$

Entonces el LHS es uniformemente convergente a $0$ como $k \to 0$ para todos $x+h$ en la vecindad donde la segunda derivada está acotada.

Una segunda derivada acotada en una vecindad es, por lo tanto, una condición suficiente para que la aproximación por diferencia directa (y la aproximación por diferencia central) converja al valor correcto junto con la existencia de la segunda derivada.

La función signum es un poco de distracción aquí. Dado que la segunda derivada no existe en $x = 0$ entonces la convergencia de la diferencia central a $0$ aunque sorprendente no es relevante. Es puramente un artefacto de la cancelación de términos para esta función particular. En este caso, la aproximación hacia adelante divergirá a $\infty$ como era de esperar.